Demonstrations des resultats enonces dans l'article: Etonnante precision de la methode des moindres
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Demonstrations des resultats enonces dans l'article: “ Etonnante precision de la methode des moindres carres pour des series chronologiques issues de modeles lineaires fortement perturbes” Stephane Junca, IUFM et Universite de Nice, Laboratoire J. A. Dieudonne, UMR CNRS 6621. Cette note comprend les demonstrations des resultats enonces dans l'article “ Etonnante precision de la methode des moindres carres pour des series chronologiques issues de modeles lineaires fortement perturbes”. On se reportera a l'article pour les enonces et les exemples numeriques. La numerotation des sections est la meme que celle de l'article. 1 Derivations des formules de la MMC Voici deux demonstrations pour retrouver et interpreter les formules generales de calculs des coefficients de la droite des moindres carres. On suppose que sx 6= 0, i.e. la serie des (xk)nk=1 n'est pas reduite a un point. Par un calcul algebrique : En utilisant l'identite remarquable (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca, en reconnaissant les variances et covariances, en utilisant le fait que la moyenne d'une serie centree est nulle : 1n n∑ k=1 (xk?x) = 0, en reconnaissant ?2 := s2xy/(s2xs2y), on peut mener d'une seule traite le calcul suivant : Rn(a, b) = 1 n n∑ k=1 (yk ? [axk + b])2 = 1 n n∑ k=1 (
Voir
- formule de koenig
- obtention des formules
- demonstrations des resultats enonces dans l'article
- somme de variables aleatoires
- calcul explicite de variances
- variance
Demonstrations des resultats enonces dans l’article: “ Etonnante precision de la methode des moindres carres pour des series chronologiques issues de modeles lineaires fortement perturbes”
StephaneJunca,
IUFMetUniversitedeNice, LaboratoireJ.A.Dieudonne,UMRCNRS6621.
Cettenotecomprendlesdemonstrationsdesresultatsenoncesdansl’article“Etonnante precisiondelamethodedesmoindrescarrespourdesserieschronologiquesissuesdemodeles lineairesfortementperturbes”.Onsereporteraal’articlepourlesenoncesetlesexemples numeriques.Lanumerotationdessectionsestlameˆmequecelledel’article.
1 Derivationsdes formules de la MMC Voicideuxdemonstrationspourretrouveretinterpreterlesformulesgeneralesdecalculsdes n coecientsdeladroitedesmoindrescarres.Onsupposequesx6.e.isal,0=ieers(dexk) k=1 n’estpasreduiteaunpoint. Paruncalculalgebrique:Enutilisantl’identiteremarquable 2 22 2 (a+b+c) =a+b+c+ 2ab+ 2bc+ 2ca, en reconnaissant les variances et covariances, en n X 1 utilisantlefaitquelamoyenned’uneseriecentreeestnulle:(xkx) = 0, en reconnaissant n k=1 2 22 2 :=s /(s s), on peut mener d’une seule traite le calcul suivant : xy xy n n X X 1 1 2 2 Rn(a, b() =yk[axk+b]) =([yky]a[xkx] + [ax+by]) n n k=1k=1 2 22 2 =s+a s+ (ax+by)2asxy+ 0 + 0 y x 2 2 s sxy xy 2 22 =s+s a+ (ax+by) y x 2 2 s s x x 2 s 2 22xy2 22 =s(1) +s a+ (ax+by)s(1), y xy 2 s x sxy avecegalitequelorsquea= etax+b=y. 2 s x n Parunemethodegeometrique:SoientRalrinerodoiustacmunidupre:slima n X 1 < X,Y >:=xkykronal,ee:coieassiennclidmeeukXk=< X,X >, le vecteur II dont n k=1 touteslescomposantessontegalesa1.OnnoteP=RXRI. La somme est directe car 2 sx>0. AinsiRn(a, b) =kY(aX+bI)k, et la minimisation deRnevierevrrtuotnaZ, le e e projeteorthogonaldeYsur le planP. SoitX=XxI, alors< X,I>= 0 car< X,II>=x. e < Y,X >< Y,II> e e Ainsi,{X ,II}forme une base orthogonale dePet donc,Z=X+ II.Comme e e<I,I> < X, X> 1
