Definitions Exemples Le gain en utilisant les matrices structurees

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Houssam Khalil Bernard Mourrain &Michelle Schatzman

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Definitions&Exemples Le gain en utilisant les matrices structurees Relation entre matrices de Toeplitz et syzygies Matrices de Toeplitz par blocs Toeplitz (TBT) Matrices structurees Matrices de Toeplitz par blocs Toeplitz. Houssam KHALIL Bernard Mourrain &Michelle Schatzman Universite Lyon1&INRIA Sophia Antipolis JMS, Limoges, 19/01/06 Houssam KHALIL Matrices structurees

t1 t0

t?1 tn?1

relation entre matrices de toeplitz

h0 h1

resolution des systemes lineaires

matrices de toeplitz par blocs toeplitz

Voir

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Antipolis 17764 Schatzman

D´eﬁnitions&ExepmelLsgeiaenunitsalilentatsmcerirtssutcuee´rleRsnentatiotricremaoTpeseedteysilztMaesgizydeesictrztilpeoTscolbrapT(TB)oTpeilztasKmAHILMLtairecHous

JMS, Limoges, 19/01/06

Univ´ersit´eLyon1&INRIASophiaAntipolis

tuuctrss

Matricesstructur´ees Matrices de Toeplitz par blocs Toeplitz.

Houssam KHALIL Bernard Mourrain &Michelle Schatzman

seer´

snE&tioielLsexpm´eﬁnDssceuctrsmleriatilittnasiageunenicesdeTontrematrletaoienut´reeRsliepTodeesictrMaseigyzysteztilpeBT)tz(TpeilscoTbrolztapssuoHKmaHesicrustILALtrMa

D´eﬁnitions&Exemples

es´eurct

Legainenutilisantlesmatricesstructure´es Multipplication rapide R´esolutiondessyste`meslin´eaires

Relation entre matrices de Toeplitz et syzygies

Matrices de Toeplitz par blocs Toeplitz (TBT) Gen´eralisationducasscalaire ´ TBT et syzygies

itj−T:(=2.aMi)j,edeHtricl:H=anke,i)j+ih(irtaM3.jndVadeceeVndmoerxElpmeM1seriatdeceepTotzli

Matrices truct ´ s urees Une matriceAde taillen×ntur´eeesstiditestruc: 1peneddeleel´dO(nntieals`)cﬃcoealpaedecn2 coeﬃcients. Cescoeﬃcientssontdistribu´eesd’unemani`erequinous permet de travailler ”simplement” avec cette matrice.

es´eurctru:yhc1(=CdeciuaCej4i,trMaxj=(i)−1rtcisetsHKLALIaMjHoussamxi−yj)i,rtcisetsurtcrue´enutilisantlesmaxE&slpmeeLseniagD´nieﬁontizparpliteToecesdtaireiMszygyezstitploeeTsdceriatmertnenoitaleRseT)tilpBT(zcolbeoTs

laRees´etrenontisecirtamrutcurtstsyzitzesMatygieirecmetaeolpdsTeeﬁD´tiniinenutilisantlesno&sxEmelpseeLagT)TBitzpoeplsdeTriceti(zeolpcoTsralbHuossurctrust

Exemples 1Matrice de Toeplitz :T= (ti−j)i,j. 2Matrice de Hankel :H= (hi+j)i,j. 3Matrice de VandermondeV= (xij−1)i,j 4Matrice de Cauchy :C= (xi1−yj) i,j

Matricesstructure´es Une matriceAde taillen×nes:sicuut´reedttisert 1epd´ddenleeleO(naleclapaedeicﬃ`stneoc)n2 coeﬃcients. 2eruqniuosnosstneibirtsidt’usdeeu´`enimaneoeﬃcCesc permet de travailler ”simplement” avec cette matrice.

es´eLILAHKmasecirtaM

mplesLegions&ExeDe´nﬁtitrsstuucatsmceriasileltneniaitunToepesdetricremaentntaoiRsle´reetzliepTodeesictraMseigyzysteztilrbpacsloepTotzliTBT()ssuoH

Toeplitz,T= (ti−j)i,j tt0tt−10......t−n.+1 1 tn.−1.......t.1.tt−10

tsurtcrue´se

Vandermonde,V= (xij−1)i,j 11xx21......xx12nn−−11 1.x.n. . .xnn.−1

Hankel,H= (hi+j)i,j h0h1. . .hn−1 h1h2. . .. . . .. . .h2n−3 . hn−1. . .h2n−3h2n−2

Cauchy,C= (xi−1yj)i,j xxn1.−11−yy11......x1−.1yn 1 xn−yn

amKHALILMatrices

essttricur´eructlisinetuseamnaltsdceriatitploeeTitaleRsemertnenoExs&plemLeesinga´Dinﬁenoit´eOpecavruesaretdgdertnaacem´eplrM,Nent1sMieriattszeygyztilprapzdseceoTeplitz(TBblocsToe)T

Matricesstructure´es Asecpmis”selser´eeuctuestrtdittairetm2xesiisliMetN ” telles que rg(rM,N(A)) =α(resp rg(ΔM,N(A)) =α), avecα ”petit”inde´pendentden. ou

Structuredede´placement

seecessatritur´trucsuas.)oHILMLKmAHMgraA(N,nelnretotden.OeApl´eemacr}nadgdeelelM{N,,s’appel,N(A))=αMr(greuqletαtiteep.LANA−=MA)N(M,.αΔ2el×natliF,edFT,GNT=GA−MA(A)=

tcure´ru

Matrices structurees ´ A2eamrtcises”milpes”tseetidurtsurctes´eleiistxiMetN telles que rg(rM,N(A)) =α(resp rg(ΔM,N(A)) =α), avecα ”etit”ouind´ependentden. p

Structureded´eplacement

Le petitαtel que rg(rM,N(A)) =α, s’appelle le{M,N}rang dede´placementdeA. On le noterargM,N(A).

avec Op´erateursetrangded´eplacement 1rM,N(A) =A−MANT=GFT,G,Fde taillen×α. 2ΔM,N(A) =MA−AN.

amssouHtssecirtaMLILAHKbrapztilpeoTscolBT(Ttzli)etsyzygiToeplitzseedoTpeseaMrtcielsRioattuuceer´cirtedsetnenamerlisanutiainesLegssrtirecmstatnel´eDelpmexE&snoitinﬁ

Voir