$Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles$

Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles

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Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles Théorème : Tout polynôme B , tel que ( ) ∑ = = m i i i xbxB 1 s'écrit de façon unique sous la forme : ( ) ( ) ( )∏∏ ?? ++?= Jj m jj Ii n k ji xxxxB ??? 2 Où j? et j? sont des couples réels tous distincts tels que ll xx ?? ++2 n'admette pas de racines réelles, les i? sont des réels tous distincts. in et jm sont des entiers strictement positifs. Théorème : Soit ( ) ( )( )xB xA xf = où A et B sont deux polynômes, tels que ( ) ( ) ( )∏∏ ?? ++?= Jj m jj Ii n i ji xxxxB ??? 2 Il existe P un polynôme et kia , , jib , et jic , des constantes tels que : ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∑ ∑ ? =? = ? ? ? ? ??? ? ++ + +??? ? ??? ? ? += Jj m l l jj ljlj Ii n k k i ki ii xx cxb x a xPxf 0 2 ,, 0 , ??? Définition : P est la partie entière de f .

xb xr

pole double

degré supérieur

unique couple de polynômes

polynôme

polynôme irréductible de degré

Voir

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Français

Polynôme

Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles

Théorème :

Tout polynôme

, tel que

(

∑

s’écrit de façon unique sous la forme :

(

∏

∈

Où

sont des couples réels tous distincts tels que

n'admette pas de racines réelles, les

sont des

réels tous distincts.

sont des entiers strictement positifs.

Théorème :

Soit

(

où

sont deux polynômes, tels que

(

∏

∈

Il existe

un polynôme et

des constantes tels que :

(

∑ ∑

∈

Définition :

est la partie entière de

est une racine d’ordre

du polynôme

on dit que c’est un pole d’ordre

de la fraction

rationnelle

, on appelle pole simple un pole d’ordre 1.

s’appelle polynôme irréductible de degré 2.

La décomposition se déroule en plusieurs étapes.

Première étape : déterminer la partie entière s’il y en a une, c’est-à-dire si

≥

, si ce n’est pas le cas on

passe directement à la deuxième étape.

Soit

(

∑

(

∑

avec

≥

, on effectue la division euclidienne de

par

Théorème :

Il existe un unique couple de

polynômes

(

avec

≤

tels que :

(

Exemple :

(

Dans un premier temps on cherche une puissance de

telle que, multiplié par

on trouve un

polynôme qui commence par

(le premier terme de

convient.

Voir