Weierstrass semigroups and Galois module structure of spaces of holomorphic differentials of curves

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Weierstrass semigroups, Galois module structure of holomorphic differentials and applications S. Karanikolopoulos A. Kontogeorgis March 15, 2011

ramification filtration

deformation theory

motivation examples

weierstrass semigroups

n? ?p

defined over

g0 ≥

natural numbers

called pole

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Weierstrasssemigroups,GaloismodulestructureofholomorphicdiﬀerentialsandapplicationsS.KaranikolopoulosA.KontogeorgisMarch15,2011

UnivAimofthistalkWeierstrasssemigroupsandramiﬁcationﬁltrationMotivationExamplesXisaprojectivenonsingularcurveofgenusg≥2deﬁnedoveranalgebraicalyclosedﬁeldofpositivecharacteristic.WewilldenotethefunctionﬁeldofXbyF.TheautomorphismgroupofFwillbedenotedbyGanditisaﬁnitegroup..1.2.3resiytoWeierstrasssemigroupsG-modulestructureofpolydiﬀerentialsDeformationtheoryofcurveswithautomorphismsftheAgeaenUnivresiytoftAhnes–2/28

WeierstrasssemigroupsandramiﬁcationﬁltrationMotivationExamplesWeierstrasssemigroupsandramiﬁcationﬁltration

Univ.1.2resiytoWeierstrasssemigroupsWeierstrasssemigroupsandramiﬁcationﬁltrationMotivationExamplesTheWeierstrasssemigroupΣPattheplacePofFisthesubsemigroupofthenaturalnumbersthatconsistsofallnumbersi∈Nsuchthatthereisanf∈Fwith(f)∞=iP.AllnumbersintheWeierstrasssemigroupatParecalledpolenumbers.ThesetN−ΣPisﬁniteandconsistsofgelements.TheelementsofN−ΣParecalledgaps.Allgapsare≤2g−1.ftheAgeaenUnivresityoftAhnes–4/28

Univ.1.2resiytoRamiﬁcationFiltrationWeierstrasssemigroupsandramiﬁcationﬁltrationMotivationExamplesG(P)={g∈G:g(P)=g}.ThegroupGadmitsthefollowingramiﬁcationﬁltrationG0≥G1==Gi1>Gi1+1==Gi2>Gi2+1==Gs>{1}.LettbealocaluniformizeratP.ThegroupsGiaredeﬁnedbyGi={g∈G(P):vP(g(t)−t)≥i+1}.ftheAgeaenUnivresiytoftAhnes–5/28

:miARelateUniversityoftheAegeanRelationsWeierstrasssemigroupsandramiﬁcationﬁltrationMotivationExamplesramiﬁcationﬁltrationdnaehtWeierstrasssemigroup.UniversityofAthens–6/28

UnivRelationsWeierstrasssemigroupsandramiﬁcationﬁltrationMotivationExamplesAim:RelateramiﬁcationﬁltrationandtheWeierstrasssemigroup.Letmbethesmalerpolenumbernotdivisiblebyp.ConsiderthespaceL(mP),andﬁxabase.ThereisfaithfulrepresentationofresiytoftheAgeaenρ:G1(P)→L(mP).UnivresiytoftAhnes–6/28

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