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Version du 27/10/01 LUDWIG SCHEEFFER ET LES EXTENSIONS DU THEOREME DES ACCROISSEMENTS FINIS

Bernard Maurey, Jean-Pierre Tacchi

1. Introduction Commebonnombredemathematicienseduquespendantladeuxiemepartiedu vingtiemesiecle,nousavonsvuetrevulefameux“TheoremedesAccroissementsFinis” de Bourbaki, que l’on trouve dans [Bou], p. 19. Proposition 2.— Soitfiremunneeineuqunioctoneftinutconsunedan intervallefermeborneI= [a, b]edunrieetdmnttaate,ioetveeard(nie ou non)orppraarepirtaenmelpmocudstniopntousleseta[a, b[d’une partieblembraenodAde cet intervalle. Sifd0(x)≥0en tout pointxde [a, b[’ananetrappasaptnA, on af(b)≥f(a); si en outrefd0(x)>0en un point au moins de[a, b[, on af(b)> f(a).

Al’occasiond’untravailprecedentconsacreaLebesgue,nousnoussommesapercusen   relisantsonlivre[Le1]queleresultatci-dessusn’estnullementdˆuaugeniegeneralisateur deNicolasBourbaki,maisaunjeunemathematicienallemanddelasecondemoitiedu dix-neuviemesiecle,LudwigScheeer,quialepremierdemontreceresultaten1884. Nousindiqueronsaussilerˆoleimportantd’AxelHarnack,quiacependanteuletort d’enoncerd’aborden1881unresultatdumˆemegenremaisgrossierementfaux,etlerole ˆ d’UlisseDiniquiademontreunenoncedecettenatureavant1878.Notrepresenttravail trouvesonoriginedanslavolonted’ensavoirplussurcettemeroehsedeextenduTnsio Accroissements Finis.epeumedueehcqreudtLgSwiiQuaietonrteiciensdeathemat epoqueconnaissent?Dansquelpaysagemathematiqueceresultatest-ilapparu? L’etudeduresultatci-dessus,sousdesformesplusoumoinsgeneralesquenous appelleronsndionstereohuTxeseFAmedemcee-lleupnreoxrauenteexnttepnrtif,uo nademathematiqueatraversuneepoquepassionnantedel’Analyse.L’objetdecetravail sesitueeneetauneperiodesensible,laperiode1870–1885,oulatopologieetlatheorie  delamesurenaissantesontdumalacernercequileurrevient.Onyvoitnaˆtreles ensemblesderives,lesfermes,lescompactsdenombrablesetlesensemblesparfaitsde Cantor;lamesureouplutoˆtlecontenuC,naot,rapSrimhtetudiessont;kcanraHsel nombresderivesdeDinietleproblemedel’integrationdesfonctionsderivattirent ees l’attention;enn,lesproblemesdecardinalitesontmisenavantparCantor(non denombrabilitedesintervallesreels,denombrabilitedesnombresalgebriques,hypothese ducontinu),etlesordinaux,lacreationincontestabledumeˆmeCantor,commencent aapparaˆtredanslestravauxd’autresmathematiciens(BendixsonetPhragmenpar exemple, parmi les premiers). NousessaieronsdedecrirelecheminementarduqueScheeeraparcouru,quil’a menedel’investigationdelanotiondelongueurd’ungraphey=f(x’uaal)ujqs emieredtrationdel’extensiondutheoremedesAFciteeci-dessus.Nousavons pr emons

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