Université Henri Poincaré Nancy Département de Mathématiques lcma2 s3 standard et cpu2 Algèbre Arithmétique Feuille
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Université Henri Poincaré, Nancy 1 Département de Mathématiques lcma2 s3 standard et cpu2 Algèbre-Arithmétique 2011–2012 Feuille 03 Anneaux 1. Soit A un anneau unitaire. A¯ est l'ensemble sous-jacent à A muni des opérations suivantes : a ? b = a + b + 1 et a b = ab + a + b. Montrer que A¯ est un anneau unitaire isomorphe à A. 2. Montrer que, si un anneau unitaire intègre a un élément non nul idem- potents, c'est-à-dire tel que e2 = e, cet anneau est unitaire d'élément neutre e. 3. Un anneau de Boole est un anneau unitaire dont tous les éléments sont idempotents, c'est-à-dire tels que x2 = x. 1. Montrer que tout élément x vérifie x + x = 0, et qu'un tel anneau est commutatif. 2. Montrer que si A est intègre alors card(A) ≤ 2. 4. Soit A un anneau unitaire de caractéristique 2 tel que x3 = x pour tout x ? A. Montrer que A est commutatif. 5. Soit A un anneau unitaire et a un élément nilpotent de A, c'est-à-dire tel que il existe n ? N? vérifiant an = 0. Montrer que si x ? A est inversible et commute avec a, alors x? a est inversible et donner son inverse.
Voir
- anneau unitaire
- coefficients dans z
- département de mathématiques lcma2
- ?1 ?
- anneau des entiers de gauss
- anneaux z
UniversitÉ Henri PoincarÉ, Nancy 1 lcma2 s3 standard et cpu2 2011–2012
Anneaux
DÉpartement de MathÉmatiques AlgÈbre-ArithmÉtique Feuille 03
¯ 1.SoitAun anneau unitaire.Aest l’ensemble sous-jacent ÀAmuni des ¯ opÉrations suivantes :a⊕b=a+b+ 1etab=ab+a+b. MontrerqueA est un anneau unitaire isomorphe ÀA. 2.Montrer que, si un anneau unitaire intÈgre a un ÉlÉment non nul idem-2 potents, c’est-À-dire tel quee=e, cet anneau est unitaire d’ÉlÉment neutre e. 3.Un anneau de Boole est un anneau unitaire dont tous les ÉlÉments sont 2 idempotents, c’est-À-dire tels quex=x. 1. Montrer que tout ÉlÉmentxvÉrifiex+x= 0, et qu’un tel anneau est commutatif. 2. Montrerque siAest intÈgre alors card(A)≤2.
3 4.SoitAun anneau unitaire de caractÉristique 2 tel quex=xpour tout x∈A. MontrerqueAest commutatif. 5.SoitAun anneau unitaire etaun ÉlÉment nilpotent deA, c’est-À-dire tel ∗n que il existen∈NvÉrifianta= 0. Montrerque six∈Aest inversible et commute aveca, alorsx−aest inversible et donner son inverse. 6.Montrer que2Z/14Zest un corps. 7.Montrer que tout anneau intÈgre admettant un nombre fini d’ÉlÉments est un corps. 8.SoitAun anneau commutatif tel que pour toutx∈A, il existe un entier n n≥2tel quex=x. 1. Montrerque0est le seul ÉlÉment nilpotent deA. 2. Montrerque tout ÉlÉment deAengendre un sous-groupe additif fini dont l’ordre n’est divisible par aucun carrÉ sauf 1. 3. Montrer que siAcontient un ÉlÉmentenon diviseur de0, alorsAest unitaire.
9.SoitAun anneau unitaire dont la caractÉristique est diffÉrente de 2 et tel queyx∈ {xy,−xy}pour toutx, y∈A. MontrerqueAest commutatif. √ √ 10.SoitZ[ 2]le sous-ensemble deRconstituÉ des nombres de la formea+b2 √ aveca∈Zetb∈Z. MontrerqueZ[ 2]est un sous-anneau deR.
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