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mathématiques mathématique

Université de Département

Poitiers de Mathématiques

5l13–Probabilités Élémentaires Licence de Mathématiques, Année 2010–2011

o Feuille d’exercices n 4

Variables aléatoires de lois absolument continues

Ces exercices portent sur des variables aléatoires dont ment continue par rapport à la mesure de Lebesgue). On densités vaut1et là aussi calculer quelques espérances.

Exercice 1.— SoitYune variable aléatoire probabilité que les racines de l’équation

soient réelles ?

la loi admet une densité (loi absolu pourra vériﬁer que l’intégrale de ces

uniformément répartie sur]0,5[. Quelle est la

2 4x+ 4xY+Y+ 4 = 0

Exercice 2.— La durée de vie — exprimée en milliers de kilomètres parcourus — d’une voiture de type donné est une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre1/60. M Dupont possède un tel véhicule qui aﬃche50 000km au compteur ; il revend ce véhicule à M Durand. Quelle est la probabilité que M Durand proﬁte de cette voiture pendant au moins45 000km supplémentaires ?

Remarque.— En fait, si un temps exponentiel ne convient pas pour modéliser la durée de vie d’une voiture, il convient parfaitement pour décrire le temps de désintégration d’un noyau atomique instable ou toute autre situation où l’attente n’apporte aucune information sur la date d’arrivée d’un phénomème.

Exercice 3.— SoitXune variable aléatoire à valeurs positives telle que

0<P{X > t}<1,

et possédant la propriété d’absence de mémoire :

P{X > s+t|X > t}=P{X > s},

pour toutt >0,

pour touss≥0ett≥0.

Montrer queXa pour loi une loi exponentielle. (Indication :considérer la fonctiongdéﬁnie ∗ parg(t) =P{X > t}et commencer par exprimer, pour toutn∈N,g(nt)à l’aide deg(t), puis g(1/n)à l’aide deg(1), en déduireg(r)pourr∈Q+, puisg(x)pourx∈R+.) Remarque.— L’équation fonctionnelleg(s+t) =g(s)g(t),t, s≥0, est l’équation de Cauchy multiplicative. L’argument essentiel utilisé ici est la propriété de monotonie de la solution. Dans d’autres circonstances ce pourrait être une hypothèse de continuité (voire de mesurabilité). C’est un usage classique de l’axiome du choix, ou du théorème d’existence de base, de montrer qu’il n’y a pas unicité à une telle équation (ou à sa forme additivef(x+y) =f(x) +f(y),x, y∈R) ; les autres solutions ne sont cependant pas explicites et sont très irrégulières.

Exercice 4.— SoitT: (Ω,A,P)→R+une variable aléatoire réelle positive de loi exponentielle de paramètreλ >0. PosonsX=⌈T⌉la partie entière supérieure deT. Constater que c’est une variable aléatoire entière presque sûrement strictement positive et déterminer sa loi. Le résultat étaitil prévisible ? Que dire deY=⌊T⌋la partie entière inférieure deT?

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