Université Claude Bernard Lyon et École Normale Supérieure de Lyon
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Français
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Université Claude Bernard – Lyon 1 et École Normale Supérieure de Lyon Année 2007/2008 Unité d'enseignement : algèbre approfondie Examen du 14 janvier 2008 Enseignant responsable : Bertrand RÉMY Durée : 3 heures. Appareils électroniques autorisés : aucun. Documents autorisés : aucun. La clarté et la pertinence des explications sont un élément d'appréciation significatif de la copie. Les exercices de ce sujet d'examen ne sont pas indépendants, aussi vous est-il recommandé de lire tout ce qui précède une question que vous souhaitez traiter. Vous pouvez admettre un point pour en prouver un autre, pourvu que vous fassiez explicitement référence au résultat que vous utilisez. Tous les corps intervenant dans ce sujet sont commutatifs ; certaines structures de Z-modules (i.e. de groupes abéliens) proviennent de la loi multiplicative sur un corps. Exercice A. Soit ? un groupe. Rappelons qu'une structure de ?-module sur un Z-module M est la donnée d'un homomorphisme d'anneaux Z[?] ? EndZ(M). Dans la suite de cet exercice, on suppose que M est un ?-module. On dit qu'une application c : ? ? M , notée ? 7? c? , est un 1-cocycle de ? à valeurs dans M si elle vérifie c??? = c?+?.c?? pour tous ? et ?? dans ?.
Voir
- structure de corps
- homomorphisme de groupes injectif
- annulations de cohomologie h1
- extension cyclique
- cohomologie de ?
- polynôme xp ?x
- seconde annulation
- xp ?
- cocycle de ?
Universit Claude Bernard – Lyon 1 et Ècole Normale Suprieure de Lyon Anne 2007/2008 Unit d’enseignement : algbre approfondie Examen du 14 janvier 2008 Enseignant responsable : Bertrand RÈMY
DurÉe: 3 heures. Appareils Électroniques autorisÉs: aucun. Documents autorisÉs: aucun. La clartÉ et la pertinence des explications sont un ÉlÉment d’apprÉciation significatif de la copie.
Les exercices de ce sujet d’examen ne sont pas indpendants, aussi vous est-il recommand de lire tout ce qui prcde une question que vous souhaitez traiter. Vous pouvez admettre un point pour en prouver un autre, pourvu que vous fassiez explicitement rfrence au rsultat que vous utilisez. Tous les corps intervenant dans ce sujet sont commutatifs; certaines structures deZ-modules (i.e. de groupes abliens) proviennent de la loi multiplicative sur un corps.
Exercice A.SoitΓun groupe. Rappelons qu’une structure deΓ-modulesur unZ-moduleM est la donne d’un homomorphisme d’anneauxZ[Γ]→EndZ(M). Dans la suite de cet exercice, on suppose queMest unΓ-module. On dit qu’une applicationc: Γ→M, noteγ7→cγ, est un1-cocycledeΓÀ valeurs dansMsi 01 elle vrifiecγγ=cγ+γ.cγpour tousγetγdansΓ. On noteZ (Γ, M)l’ensemble des1-cocycles 0 0 deΓÀ valeurs dansM. 1) Que vaut un1-cocycle en1Γ? Qu’est-ce qu’un1-cocycle deΓÀ valeurs dansMsi l’action de ΓsurMest triviale? On dit qu’une applicationc: Γ→M, noteγ7→cγ, est un1-coborddeΓÀ valeurs dansM 1 s’il existem∈Mtel quecγ=m−γ.mpour toutγ∈Γ. On noteB (Γ, M)l’ensemble des 1-cobords deΓÀ valeurs dansM. 2) Vrifier que tout1-cobord deΓÀ valeurs dansMest un1-cocycle deΓÀ valeurs dansM. Dans la suite de ce sujet, on appelle1-cohomologiedeΓÀ valeurs dansMleZ-module quotient : 1 11 H (Γ, M) = Z(Γ, M)/B (Γ, M). 1 3) Justifier que si le groupeΓest cyclique, tout1-cocycle(cγ)γ∈Γ∈Z (Γ, M)est compltement caractris par sa valeur en un gnrateur deΓ. 4) On suppose queΓest fini cyclique de gnrateurσ. On noteT :M→Ml’application dfinie P 1 parT(m) =γ.met on noteeσ: Z (Γ, M)→Ml’application dfinie pareσ(c) =cσ. γ∈Γ eσT 1 Dmontrer que la suite0→Z (Γ, M)−→M−→Mest exacte.
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