Universite Claude Bernard Lyon et Ecole Normale Superieure de Lyon
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Universite Claude Bernard – Lyon 1 et Ecole Normale Superieure de Lyon Annee 2005/2006 Unite d'enseignement : algebre approfondie Examen du 4 janvier 2006 Enseignant responsable : Bertrand REMY Duree : 3 heures. Appareils electroniques autorises : aucun. Documents autorises : aucun. La clarte et la pertinence des explications sont un element d'appreciation significatif de la copie. NB : Certaines questions ne reclament que l'invocation precise d'un resultat du cours. Exercice A. On veut prouver, notamment au moyen de la technique de localisation, un enonce qui implique la version faible du theoreme des zeros de Hilbert. Dans les questions 1 a 5, nous allons commencer par montrer : (?) pour tout corps commutatif K et toute K-algebre finiment engendree R non nulle, il existe un homomorphisme de K-algebres de R sur une extension finie de K. Rappelons qu'une extension finie de K est un corps E contenant K comme sous-corps, et de dimension finie sur K (pour la structure naturelle de K-espace vectoriel donnee par l'inclusion K ? E). On se donne K et R comme ci-dessus. 1. Justifier qu'il existe une sous-K-algebre de polynomes S = K[z1, z2, ... zr] dans R telle que R soit naturellement un S-module de type fini.
Voir
- inclusion reciproque
- moyen de la technique de localisation
- famille des nom- bres entiers
- ideaux maximaux de l'algebre de polynomes
´ Universit´eClaudeBernard–Lyon1etEcoleNormaleSupe´rieuredeLyon Ann´ee2005/2006 Unite´d’enseignement:alg`ebreapprofondie Examen du 4 janvier 2006 ´ Enseignant responsable :Bertrand REMY
Dur´ee:3 heures. Appareils´electroniquesautoris´es:aucun. Documentsautoris´es:aucun. Laclarte´etlapertinencedesexplicationssontun´el´ementd’appr´eciationsignificatif de la copie.
NB:Certainesquestionsnere´clamentquel’invocationpre´cised’unr´esultatducours.
Exercice A.On veut prouver, notamment au moyen de la technique de localisation, une´nonc´equiimpliquelaversionfaibleduthe´ore`medesze´rosdeHilbert. Danslesquestions1a`5,nousallonscommencerparmontrer: (∗) pour tout corps commutatifKet touteKmineernfi`gbe-la´eeendrtengRnon nulle, il existe un homomorphisme deKds-ela`gbeerRsur une extension finie deK. Rappelons qu’une extension finie deKest un corpsEcontenantKcomme sous-corps, et de dimension finie surK(pour la structure naturelle deKpse-vecaectorieldonn´ee par l’inclusionK⊆E). On se donneKetRcomme ci-dessus. 1. Justifierqu’il existe une sous-K-algsnyloemoˆrbe`pedeS=K[z1, z2, ... zr] dansR telle queRsoit naturellement unS-module de type fini. On notepli’´dldeaeSndgeepr´eneme´stnelrale´szipouri∈ {1; 2;... r}. L’indicep indique qu’on localise suivant la partie multiplicativeS\p. 2.D´ecrireS/pitsuqrefi’leuennaloaulicaes´etjSpest non trivial. 3. JustifierqueRpest unSp-module de type fini et montrer quepRalunest´eid propre deR. 4. MontrerqueR/pRuressnoifinineredidemnealg`ebestuK. 5.Ende´duirel’e´nonce´(∗). 6. Enutilisant (∗) pour uneKrqretoueidutal´edujeeici,esutnome`rba-glamixamdle Rest le noyau d’un homomorphisme deKnerusuesionsteexdeefininrbe`gla-K. 7.Montrerquel’id´ealdes´ele´mentsnilpotentsdeRest contenu dans l’intersection deside´auxmaximauxdeR. 8.Montrerl’inclusionre´ciproqueenlocalisantRjudicieusement et en utilisant (∗). 1
