TUNNEL DANS DU SABLE SEC

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Georges Cailletaud

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1 TUNNEL DANS DU SABLE SEC a a l'infini P p Figure 1 : Géométrie du tunnel et chargement appliqué Données Le tunnel (cylindre de rayon a) est creusé dans un massif infini (r ? [a,+∞[), initialement sous contraintes homogènes et isotropes ? ? I =?PI ? où P est la pression à l'infini (pression géostatique due au poids des terrains) (Fig. 1). Le matériau est isotrope parfait de module d'Young E, de coefficient de Poisson ? obéissant au critère de Coulomb F(? ? ) = K maxi(?i)?mini(?i) avec K = tan2(pi/4+ ?/2) où ? est l'angle de frottement (milieu pulvérulent sec sans cohésion). Au fur et à mesure de l'avancement du tunnel, un soutènement (exemple : voûte en béton) est posé de sorte que le calcul de l'état final du sol entourant le tunnel puisse se faire en simulant une pression à la paroi (r = a) qui décroît progressivement de P (pression initiale des terrains) à p (pression de soutènement) : p ≤ P). Les calculs sont à faire en coordonnées cylindriques (r,?,z) en admettant que le tunnel est infini dans la direction de son axe Oz (déformations planes : ?z = 0).

expression de ?r

conditions de compatibilité

solution élastique

tunnel

déplacement en terrain

déformation plastique

pression

∂r déformation radiale

zone plastique

Voir

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TUNNEL DANS DU SABLE SEC

Figure 1 : Géométrie du tunnel et chargement appliqué

Données Le tunnel (cylindre de rayona) est creusé dans un massif inﬁni (r∈ I [a,+¥[), initialement sous contraintes homogènes et isotropess=−PIoù ∼ ∼ Pest la pression à l’inﬁni (pression géostatique due au poids des terrains) (Fig. 1). Le matériau est isotrope parfait de module d’YoungE, de coefﬁcient de Poissonnobéissant au critère de Coulomb 2 s F(s) =Kmaxi(i)−mini(si)avecK=tan(p/4+f/2)oùfest l’angle ∼ de frottement (milieu pulvérulent sec sans cohésion). Au fur et à mesure de l’avancement du tunnel, un soutènement (exemple : voûte en béton) est posé de sorte que le calcul de l’état ﬁnal du sol entourant le tunnel puisse se faire en simulant une pression à la paroi (r=a) qui décroît progressivement deP(pression initiale des terrains) àp(pression de soutènement) :p≤P). Les calculs sont à faire en coordonnées cylindriques (r,q,z) en admettant que le tunnel est inﬁni dans la direction de son axeOz(déformations planes :ez=0). De plus on ne considérera que la situation où p≤(1−2n)P/[K−n(K+1)], conduisant à un régime de contrainte tel

qu’en tout point du massif on ait les inégalités strictes sr>sz>sq. Ainsi, si le potentiel plastique est luimême Coulombien (bmaxisi−minisi), les déformations plastiques auront comme vitesses : p pp ˙ ˙ ˙e=bl≥0 ˙e=0 ˙e=−l r zq 2 Le coefﬁcient de gonﬂementb=tan(p/4+y/2)oùyest l’angle de dilatance est tel que : 1<b≤K.

1.Réponse élastique Pour une pression de soutènement p assez grande, la réponse du

p massif est élastique (e=0). Déterminer les contraintes dans ce cas. ∼ ∼ Remarquer que la contrainte axiale reste constante (sz=−P) tandis que et que les contraintes radialesret circonférentiellesqrestent des pressions (≤0) mais que la pression radiale baisse et que la pression circonférentielle augmente (suite au mouvement convergent du sol). Déterminer la pression minimale peque doit assurer le soutènement pour que cette solution élastique reste vraie (p≥pe). Remarquer que pen’est pas nul (un soutènement est obligatoire) pour tout P>0. Pour P<pela solution élastique est fausse car le critère F=Ksr−sqest positif dans une zone r∈[a,ce]entourant le tunnel. Calculer ceen fonction de (p/pe). On note respectivement : u(r)déplacement radial 0 er=u=¶u/¶rdéformation radiale eq=u/rdéformation circonférentielle ez=0 déformationaxiale

Voir