THEOREMES DE LAGRANGE D EULER ET DE FERMAT

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THÉORÈMES DE LAGRANGE, D'EULER ET DE FERMAT

1. Théorèmede Lagrange

1.1. Théorème de Lagrange

SoientGun groupe d'ordrefinietHun sous groupe deG.

L'ordre deHdivise l'ordre deG.

Démonstration : a) Notonsmultiplicativement la loi deG. Définissons, surG, une relationpar : 2−1 ∀(x,y)∈G, (xy⇔x y∈H)

Montrons queest une relation d'équivalence : −1 x x=1∈H doncxx,est réflexive. Hsous groupe −1−1−1−1 xy⇔x y∈H⇔(x y)∈H⇔y x∈H⇔yx, doncest symétrique. −1−1−1−1−1 (xy etyz)⇒ (x y∈H ety z∈H)⇒ (x yy z=x z∈H)⇒ (xz), est transitive. Doncest bien unerelation d'équivalence.

La classe d'équivalence d'un élémentadeGest, par définition : −1−1 {y∈G|ay}={y∈G|a y∈H}={y∈G|∃h∈H,a y=h}={y∈G|∃h∈H,y=ah}=aH Cet ensemble est appeléclasse à gauche (dea) moduloH.

Montrons que toutes les classes à gauche ont |H| éléments : Pour cela, on considère, pour touta∈G, l'application ϕa:H→aH haah  ϕa(h1)=ϕa(h2)⇒ah1=ah2⇒h1=h2, doncϕaestinjective.  ∀y∈aH,∃h∈Htel quey=ahdoncϕaestsurjective. ϕaétantbijective, on déduit : ∀a∈G, |aH|=|H|

Montrons que toutes les classes à gauche sont disjointes : Considérons deux classesaHetbH(aetbdansG) et supposonsaH∩bH≠∅. Soitg∈aH∩bH. Alors : ∃h∈Htel queg=ah et∃h'∈Htel queg=bh' On a alors :ah=bh' −1 a=bh'h −1 Tout élémentah"deaHs'écrit donc :bh'h h"

Théorèmes de Lagrange, Euler et Fermat

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G. COSTANTINIhttp://bacamaths.net/

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