Systemes lineaires Ce qu'il faut savoir
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Systemes lineaires. Ce qu'il faut savoir 6 mai 2010 Un systeme lineaire1 de m equations a n inconnues (x1, · · · , xn) est un systeme d'equations de la forme : ? ??????? ??????? a1,1 x1 + · · ·+ a1,j xj + · · ·+ a1,n xn = b1 ... ... ai,1 x1 + · · ·+ ai,j xj + · · ·+ ai,n xn = bi ... ... am,1 x1 + · · ·+ am,j xj + · · ·+ am,n xn = bm (1) ou ai,j ? K pour 1 ≤ i ≤ m et 1 ≤ j ≤ n ; bi ? K pour 1 ≤ i ≤ m. Il s'agit de decrire l'ensemble S des solutions dans Kn d'un systeme lineaire de la forme (1). I Systemes equivalents Un systeme lineaire de p equations a n inconnues (x1, · · · , xn) ? ??????? ??????? c1,1 x1 + · · ·+ c1,j xj + · · ·+ c1,n xn = d1 ... ... ci,1 x1 + · · ·+ ci,j xj + · · ·+ ci,n xn = di ... ... cp,1 x1 + · · ·+ cp,j xj + · · ·+ cp,n xn = dp (2) est equivalent au systeme lineaire (1
Voir
- espaces vectoriels de dimension finie
- dimension
- espaces vectoriels
- systeme lineaire
- rang du systeme lineaire
- lineaire associee
- pivot de gauss au systeme
Syst`emeslin´eaires.Cequ’ilfautsavoir
6mai2010
1 Unsyste`melin´eairedem´eqaons`uatininconnues (x1,∙ ∙ ∙, xn:lefaroemes)t`ysnstuqe´’demedsnoitau a1,1x1+∙ ∙ ∙+a1,jxj+∙ ∙ ∙+a1,nxn=b1 . . ai,1x1+∙ ∙ ∙+ai,jxj+∙ ∙ ∙+ai,nxn=bi(1) .. am,1x1+∙ ∙ ∙+am,jxj+∙ ∙ ∙+am,nxn=bm ou`ai,j∈Kpour 1≤i≤met 1≤j≤n;bi∈Kpour 1≤i≤m.
n Ils’agitded´ecrirel’ensembleSdes solutions dansKsnu’dofmredal.(e)1emelyst`airein´e
ISyste`mese´quivalents
Unsyste`meline´airedep´qeauitons`aninconnues (x1,∙ ∙ ∙, xn) c1,1x1+∙ ∙ ∙+c1,jxj+∙ ∙ ∙+c1,nxn=d1 . . ci,1x1+∙ ∙ ∙+ci,jxj+∙ ∙ ∙+ci,nxn=di(2) . . cp,1x1+∙ ∙ ∙+cp,jxj+∙ ∙ ∙+cp,nxn=dp n estnet´equivalai´e(1reil)sns’elbmesedeulosnoitsdsnaasusy`tmeleniKse´t(e)2`adegalS. L’undesobjectifsestdetrouverunsyst`eme´equivalent`a(1)plussimple`ar´esoudre.C’estlecasd’un syst`emeline´aireheec´´ennlotse`nuys´naeemilmmenincoenirtobtorrevsuoolsulpsn.Nviuqnelate´irheecnnlo´e´e a`(1)a`l’aidedelam´ethodedupivot de Gausss:vantssiuiotnelpsseruoseperodth´eemttecede´tidilavaL. •aceremplRduonnsnceaulnairleinaonntnpualralumtlpie´iaerneemt`inel’undysnsuqe´oita-ialeme` syst`emeline´aire´equivalent; •yst`’unsiondquatneuliaernie´melembconetuanutjoiaeriae´nilnosianiedastuer´sqeauitonsemRe`-ie´emcalpalre donneunsyst`emeline´aire´equivalent. Ledernierpointrevienta`remplaceruncertainnombredefoislai-`eme´equationenluiajoutantα−fois une autree´quation. 3 Exemple :DansR,e`emlsnilseystssreai´e x+y+z=−1 (3) x−y+ 2z(4)= 1 et 2x+ 2y+ 2z=−2 (5) 2x+ 3z(6)= 0 sonte´quivalents.Eneffet: 1 Enabr´eg´e.syst`emeline´airem×n.
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