Sur des faces du LR cône généralisé

ˆ ˆG⊂ G D D
ˆG G
ˆ ˆC (μ,νˆ) D×D G νˆ
G μ C
D
C
ˆk G ⊂ G
ˆk V
ˆ ˆG V
G
ˆ ˆ• G =G×G G G
G
• G ρ : G→ Gl(V)
ˆ ˆG G := Gl(V) ρ(G)⊂G
G
n kn S V V k Λ V V
S Vπ
-i?me-modeuxduleassede)classegroup1le.tationIlestestirr?ductiblesbien:conncutationsqueun2004pengendredesundec?nepuissanceposeroly?drals.danstienunestespaces'agitvdeectorielduleappropri?.r?ductifPesardedesoserm?thoconsid?rerdes?deoserth?orielag?om?triquededes(resp.ing?n?ralemenvScarianapprotsennoussi?tudionsSoiensoussiquellesdiagonaleconditions,uned?compin?galit?duitlin?airered?nissanductiblest-mo10,groupinduitetuneourfaceunedetiblco,dimensionalorsundansdublec?nedesengendr?bleparleJunede.repr?sen2tellesInsym?triquetroNousduction,Soitdesyredeunoucorpsdealg?briquemenpuissancesturcloslin?aire.dencaract?ristiqueCitonsndeuxulle.unSoienttconRessatNicolasetetltagardladeuxdegroupdeesilalg?briquesder?ducosertifprostensorielconnexesdeuxsurpr?senMonirr?.deSoit;Pierre-Louissoitg?n?ralis?ununeerequelconquepr?sengrouptationlesquelsrationnellepder?ductifsdimensionrepr?sennieirr?ducdeeLR-c?neconnexes.duon.eutLepprobl?meNotonsg?n?ral(resp.quel'enseml'onetabl'inclusionordecouplesiciclassesestl'ensemde,d?compprobl?meoseralorssous-d?comp.descetationstextet?ressonsg?n?ral,quenepuissancehercinpasnousdonner).formd'isomorphismecomlaexplicitesext?rieured?comp-i?mecommerepr?senc?l?bredede,oplusd-Rictconcernand?complalesositiondeprohtensorieltationsR?sum?ourfacesDansdesconentr?ssommeondecSurhehe?plusdeseulestrabinatoiresersdec?neositionLittlewlaor?glehardsonLittlewqueoallonshardsonapr?stvd?compinduduitduitnotationsptaires.leositionedeNotrerepr?senctatioest-moqualitativdules?ivrr?leductibles.deRemarquonsoqued-Ricceg?n?ralis?connoustexted?nir,recouvreadeoirnomtrobreuxquelquesprobl?messuppl?mende1d?compˆD D
ˆ ˆG G ν ∈ D νˆ ∈ D V Vν νˆ
ˆG G ν νˆ V
G (V ,V) V Vν ν
G V Vν
ˆC :={(μ,νˆ)∈D×D|(V ,V ) = 0}.μ νˆ
ˆD D
ˆC D×D
ˆD D
ˆQ E E
˜ ˆC C E×E
˜C
ˆE×E
E
E E
E F
ˆD C C C := C∩(F ×E)F F
CF
˜C
GL(V)
˜C F D
˜C V 3
C C FF
D δ := dimF−dimC −dimD+dimC ≥ 0F F
F δ = 0 C FF F
D δ = 0 CF F
C
F F E1 2
D F ⊂F δ ≥δ1 2 F F1 2
F
F P G
u uP P oL P
P L
dugroupeste,lin?airefacececlassiquesemi-grouplae[?92])at?t?ailapproel?cassemi-gro1)usep,eaudeonLittlewultiplicit?ooorabd-Ricthardsonde(vNousoirdes[Zel99]).laCommede).t(resp.mon(resp.EnclasseDe)dansestoirendebijectionblesapr?senvqueecduirelcieeeso?pessenoinunetsqueen?galetiers?largissonsd'unDansc?ne(vd'undelaDans-espace?v.ectorieldequeunnous.apptelleronsetproprovisoiremendetestdansstructure(resp.p)nos(resp.Th?or?me),deuxdearengendrearunlac?ne,pdansoly?dralalenePctiblnousdanssuppl?men-irr?dusectiontationgrouprepr?senl'espaceuneose.-?quivNousleauneppdeelonsellecessenedudernierdimensionc?nesup?rieuredeleLittlewoonsor?sultatd-ositionRcasichar?l?mendsonleg?n?rermettenalis?trer,dimensionoudansplusoubri?vcoedansmenin?galitparLR-c?neeg?n?realis?r?sen-.(vCommedit)pleine(resp.Knopestsipestoly?dral,siiltesttielld?ni,danssemi-groupnoteronsalennousque)essen(resp..parmainununnom:brecorollaireniSoitd'in?galit?stationlin?airesaccorrespengendr?sondanfactesengendr?aux.facesLesdealorscodedimension.un,?galemenfacestraqueconditionnousauappsoitelleronspessen?noncertielles.inPelquesarDelaoirsuite,onpdimensionourpunedepartieleoursed'ununespacesemi-directvtsectorielvnousunipapperselleronsfacedimensiontiellededuitPalorsetinduitnoteronsfacedimtielle).prolad?sdimensionladedel'espaceestvouectoriel?e.ngretrouveetndr?cepardans(resp.prop.7.Soitledeg?n?ral,l'espaceconsid?rationsvtairesecoirtorilemmeepltengendr?monparqueunecofacededu.c?neSiengesup?rieurendr??galeparlairr?ductiblesdimension.estIluneinduitCettenaturet?ltraduitlemenreptniuneypdefacesous-semigroupesttationsque.oirdetr?repr?senOnd?niequeparest:sideonNousF.d'isomorphismesc'est-?-direclassesdimdesBrionblemaximale.l'ensemparticulier,)M.(resp.viennoteronsd'uneNousessen2eLeplus,butalorsdees.cetdearticle?quivetstfaitd'?tudiernaturellelasoitdimensiontielledeunenousOnineutettenannotammen?noncertdeder?sultatssa(vvleoir2)siAelletenetgdeesous-espndreesuneetfacepessedeuxnestiellec?nedept?ressonsnous?Si.ensemRemarquonsnoteronsqu,emdans6ledanscasc'est-?-direduNousprotonsduitttensorielcepvourunele?quivgroupteefaitlelaunpleine.eoureouvDansirsectioncelle-ci,nousallonstronstroqu'ilquetd?nitionsWtaires.omani?reo(vdwlaard4),[KTW04asso]?d?crivunenetatoutesoliquelesdefaces;essengrouptiellesdesded?compourenpp,duitethomomorphismesmonariantren,tdenotammenesttradicalqueotensidetensorieletestlin?airesous-group:dbleL?vi.l'ensemlaexiste5,Knmonutson,alorsTeraoun,.uˆ ˆ ˆ ˆ ˆP G P =P oL
u uˆ ˆ ˆP =P ∩G P =P ∩G L =L∩G
uu u uˆˆ P P B BL ˆL
ˆL L Γ
X Γ x∈ X Γx
uˆ ˆˆL L⊂ L
uu u ˆ ˆp L ˆ / L L L/BˆL
u u ˆˆL / ×L/BˆL
u u ˆΩ ˆ / ×L/B x∈ Ω δˆ FL
L B xL
ˆ ˆG/B G
D
C
Γ k
u ◦Γ [Γ,Γ] Γ
∗ ∗Ξ(Γ) = Hom(Γ,k ) Ξ (Γ) = Hom(k ,Γ)∗
Lie(Γ)
Γ
X X Γ Ker(Γ−→ Aut(X))
ΓΓ X X k[X] X
ΓΓ X//Γ k[X]
Γk[X] k[X] Γ π : X −→ X//Γ
V Q E
V <E > E dimE <E >
⊥ ∗E ϕ ∈ V ϕ = 0 R R|E Q
Q R⊗ QZ
ˆG ⊂ G
T G B G
D Ξ(T)
μ∈D V μμ
ˆ ˆ ˆT ⊂ B G Vνˆ
ˆG νˆ
p,alg?briquetout.estr?ductifs?galrepr?se?ellla.di?rs'idenencuneesurdesdomidimensionsvdesetisotrvopiesder?ductives;desungrteoupestesassoourdansetnpquotientquebleengrouptelde.commUneelonscons?quencepimm?dialtdesenoteronsdesL?vith?or?mesetAplusetdesBanestelea:groupTh?or?meunipCleS'il,existeeunnouspestointvdenouspengendr?pdedeblevideBoredontestl'isotrd?signeraopiededansdeuxlel'grunoupsous-groupe.d?riv?tdetsnontestrepr?sennie,celui-cialorsuntoutesdelesdefacdeesl'alg?bredetationouvertr?guli?ressontvpleines.parDanstlaparsectiond?signera7,ari?t?nous?appliquonsLcedederniersonr?sultatt?undivtersvexemples.enRemarquonsisotropiequeonunelonsestSitr?sari?t?li?etauunpuneolytopsurevmomenetlad?niquedansEnnun).cadretelssymepsilgroupe)ctique.etLa)propri?t?.d'?trenouspleineess'indeterpr?te.entouttermemaximaldeetcesdepdeolytopblees,alorsvsous-ensemoiroidsla.propSiosition,2.:3irr?ductiblePremi?resdominanpropri?t?sSoit3.1ositionNotationsmaximalCommen?onsus-grouppardequelquesLanotationsparabg?n?tationralsous-groupepset:adjoinsinexistefonctionsestsuruningroupari-etesalg?briquelaanedesurypIlni,BpTh?or?meagit3l:v3)anesonci?eradicaleunipeotent.t,L'inclusioncorollaireotenleradicaloirparsondegroupquotieneinduitd?riv?,morphisme(vnanleetsa-incompariaosanttedeneutre,r?ductiv?nonceretapptenanquemainappeutmorphismep.On,t.undiagonalemen-espaceleectorielgroupsieestdesous-ensemsesdecaract?res,,pnoteronspagitsurl'espaceagitectorielt,parFinalemen,ultiplication.unmdimensionparsileelonsgrouprappel'ensemdedesses(resp.sous-lgroupqueesde?sous-groupunEnnparam?treunetunsuresonutatifalg?bre(resp.deleL-espaceie.ectorielDans(resp.toutLiecetRapparticle,quenousconsid?ronsappgroupelonsalg?briquesvconnexesari?t?,alg?breune),vFixons,ari?t?ouralg?briquel'article,quasi-protorejectivpe(resp.etunirr?ductible.eSiBoretpop?renoteronsalg?briquemenL'ensemtNoussurtieunenaturellemenvauari?t?bleagissenpondominanditdequeetdonc.est:unev?rienetnous-vari?t?qui.uneOntationnotedeplus,oidsDet..pdepdesurd?compagittoreleetnosoyeauBoreldeunel'action.denotationdonc,oliquesurd?signe;repr?sen.irr?ductibleSiestabilisedeesthautaneoidset,.nousnoteronsˆC :={(μ,ν)∈D×D|(V ,V ) = 0}.μ νˆ
F Ξ(T) DQ
F D

ˆC :=C∩ F×Ξ (T) .F Q
F Ξ(T)Q
C C δ = dimC−dimC +dimF−dimΞ(T)F F F
ˆdim(<C >∩(F×Ξ(T) )) = dim(C)−dim(Ξ(T))+dim(F).Q
δ ≥ 0F

ˆd = dimC − dim (F×Ξ(T) )∩(<C >)Q
ˆπ :< C >→ Ξ(T) Ξ(T)× Ξ(T) Ξ(T)Q
t ∗π : Hom(Ξ(T) ,Q)→<C > := Hom(<C >,Q)Q
∗ −1 t ⊥d <C > π (F) d = dim( π(F ))
G
t ⊥ˆG π π d = dim(F ) = dimΞ(T)−dimF
ˆdim(<C >∩(F×Ξ(T) ))≥ dimC δ ≥ 0 Q F F
δ = 0F

ˆ<C >=<C >∩ F×Ξ(T)F Q
δ = 0F
F

ˆC < C > < C > ∩ F×Ξ(T)F F Q

ˆ(i) dim < C >= dim <C >∩(F×Ξ(T) )F Q
dimC = dimC−dimΞ(T)+dimF δ = 0 F F
etre?est?surjectivdite,dedoncPreuve.une,moinspleine.estdansinjectivl'assertione.laAinsiD'apr?s,pauladansfacappara?tclairdenousirr?ductiblel'applicationtationoserepr?senesttouteherccommedansOr,dans.1ainsi,P;1de(ii);induitedansque,lapr?senIllemmesuite,estded?monttr?e.elleronsComme.l'orthogonalOnde.dimensionDanslaalenestnoustier?L'endimension.osons3.2celle?nonc?articulier,dueprobl?me?quivRappEnelonscelaque.nousanous:inpro,paronOnenalorsd?duitlaqueet?ressonsest?Preuve.6estSoitque.parleabusOnnotation,caract?risesonalinclusorsappleunecasConsid?ronssous-espacefacev.ectorielpdealorsdansAlors,la:Propcetosition?quiv1teOnarticle,ac?quivalenchonsecomparerentrcoede:?(i)Pos?.transpdesa.et.engendr?lparlemmeuncecisurautepfacededuourc?neonengendr?oseparLemme.OnDansl'?galit?tationsoitjection;deet.l'?galit?4duˆνˆ∈D
μ
P ={ ∈ Ξ(T) , (μ,nνˆ)∈C}.νˆ Q
n
ˆ ˆ ˆ ˆB := G/B G−
ˆ ˆ ˆG L B B −νˆνˆ −
ˆ ˆ ˆB /B n G L− − nνˆ
ˆV P L G Bnνˆ νˆ νˆ
ˆ< C >= Ξ(T) ⊗Ξ(T)Q Q
ˆG G
ˆ<C >= Ξ(T) ⊗Ξ(T) F DQ Q
ˆ ˆΩ⊂D dimD νˆ∈ Ω dimP −dim(P ∩F) =νˆ νˆ
dimΞ(T)−dimF
ˆ ˆ ˆπ Ξ(T) × Ξ(T) Ξ(T) νˆ ∈ D H =Q Q Q νˆ
˜ ˜ ˆΞ(T) ×Q.νˆ P =C∩H F =F×Ξ(T)Q νˆ νˆ Q
˜ ˜ ˜dimP −dim(P ∩F) = dimP −dim(P ∩F) ;νˆ νˆ νˆ νˆ
F
˜dimΞ(T)−dimF = dimC−dim(C∩F).
˜ ˜ ˜ ˜dimC−dim(C∩F) = dimP −dim(P ∩F)νˆ νˆ
ˆνˆ D
˜dimC ≥ dimP +dimπ(C)−1νˆ
ˆ ˆνˆ∈D νˆ∈X X νˆ∈DC C
H Cνˆ
˜ ˜ ˜ ˜dim(C∩F)≥ dim(P ∩F)+dimπ(C∩F)−1νˆ
repr?sentelonqueolytoppg?om