Suites recurrentes lineaires a connaıtre

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pefav

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01 janvier 2011

Suites recurrentes lineaires a connaıtre 23 janvier 2011 I Suites recurrentes d'ordre 1 de la forme un+1 = a un + b Ces suites sont parfois qualifiees de suites arithmetico-geometriques. La terminologie est malheureuse car le terme peut porter a confusion avec la moyenne arithmetico-geometrique (cf. DM 9). Cas particulier : b = 0. Soit a ? C. La suite (un)n verifie alors ?n ? N, un+1 = a un. La suite (un)n est donc une suite geometrique de raison a. Par consequent ?n ? N, un = an u0. Cas particulier : a = 1. Soit b ? C. La suite (un)n verifie alors ?n ? N, un+1 = un + b. La suite (un)n est donc une suite arithmetique de raison b. Par consequent ?n ? N, un = b n + u0. Cas general. On suppose donc a 6= 1. La suite (un)n verifie alors ?n ? N, un+1 = a un + b. On peut remarquer que l'application f : C ? C z 7? a z + b a un unique point fixe : z0 = ? b a? 1 . 1

r2 ?

equation caracteristique

racine complexe

confusion avec la moyenne arithmetico-geometrique

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01 janvier 2011

Suitesr´ecurrentes`aconnaıˆtre

26 janvier 2010

´ I Suitesrecurrentes d’ordre1de la formeun+1=a un+b

Cessuitessontparfoisqualiﬁe´esdesuitesarithme´tico-ge´om´etriques.Laterminologieestmalheureusecar letermepeutportera`confusionaveclamoyennearithme´tico-g´eom´etrique(cf.Exercice11,ParagrapheII, TD 13).

Cas particulier :b= 0.

Soita∈C.La suite (un)nvsroalﬁeri´e

∀n∈N, un+1=a un.

La suite (un)nnredeosiate´muqirnuseodcn´goeiuetesta.´ensenquPcoart

Cas particulier :a= 1.

n ∀n∈N, un=a u0.

Soitb∈C.La suite (un)noralﬁeri´evs

∀n∈N, un+1=un+b.

La suite (un)nensetsduoncurithiteaqieu´mtesinoedarb.onrcPantueeqs´

Casg´en´eral.

∀n∈N, un=b n+u0.

On suppose donca6= 1.La suite (un)nrolas´evﬁeri

∀n∈N, un+1=a un+b.

On peut remarquer que l’applicationf:C→Ca un unique point ﬁxe : z7→a z+b

b z0=−. a−1

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