Smaller class invariants for constructing curves of genus

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Marco Streng

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Smaller class invariants for constructing curves of genus 2 Marco Streng Geocrypt Corsica June 2011

let j0 ?

class polynomial

smaller class

invariants part

hilbert class polynomial

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for

Smaller class invariants constructing curves of genus

Marco

Streng

Geocrypt Corsica June 2011

2

Overview

constructing curves

smaller class invariants

genus 1

part

part

1

3

genus 2

part

part

2

4

Part 1: The Hilbert class polynomial

Deﬁnition:Thej -invariantis

j(E)22b2833+3b333c2forE:y2=x3+bx+c. = Fact:j(E) =j(F)⇐⇒E∼=kF

Deﬁnition:LetKbe an imaginary quadratic number ﬁeld. ItsHilbert class polynomialis HK=YX−j(E)∈Z[X]. E/C End(E)∼OK = Application 1:roots generate Hilbert class ﬁeld ofK Application 2:elliptic curves with prescribed Frobenius

Elliptic curves with prescribed Frobenius

Algorithm:(givenπ∈ OKimag. quadr. withp=ππprime) 1.ComputeHKmodp, it splits into linear factors. 2.Letj0∈Fpbe a root and letE0/Fphavej(E0) =j0.

3.

Select

the

twistEofE0with “Frob =π”. It satisﬁes

#E(Fp) =N(π−1) =p+ 1−tr(π).