Seminaire IUF turbulence et determinisme Grenoble janvier
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Seminaire IUF : turbulence et determinisme Grenoble, 23-24 janvier 1997 UN EXEMPLE DE CHAOS CLASSIQUE ET QUANTIQUE : LES SURFACES DE RIEMANN. Yves Colin de Verdiere Institut Fourier et Institut universitaire de France 1. Introduction. — S'etant convaincu que la plupart des equations differentielles de la mecanique ne sont pas integrables (en un sens analytique, c'est-a-dire qu'on peut reduire le calcul des solutions a des quadratures et a la resolution d'equations algebriques), Henri Poincare a propose de faire une etude qualitative des trajectoires basee en particulier sur l'analysis situs (appellee aujourd'hui topologie) fondant ainsi un nouveau domaine scientifique que nous appellons les systemes dynamiques. L'equation differentielle est une version mathematique d'un systeme deterministe (par opposition a un processus stochastique du type mouvement brownien ou chaine de Markov). Cette science des systemes dynamiques, ou plutot sa branche consacree aux systemes instables et chaotiques, est revenue sur le devant de la scene depuis les annees 60 sous le nom de theorie du chaos. Certains systemes dynamiques, deterministes donc, presente une grande instabilite dynamique (effet papillon : un petit changement dans les conditions initiales se traduira a terme par une evolution tres differente). Toute prevision est donc limitee dans le temps par l'insuffisance de l'information sur les conditions initiales. Pour ces systemes, on peut parfois adopter une description purement statistique des trajectoires (ergodicite, melange).
Voir
- divergence exponentielle des geodesiques
- theorie statistique analogue
- cote
- spectre
- geodesiques
- nom de formule des traces de gutzwiller
- meme surface par identifications de cotes
- raies spectrales des atomes et des molecules
- semi-classique
S´eminaireIUF:turbulenceetde´terminisme Grenoble, 23-24 janvier 1997
UN EXEMPLE DE CHAOS CLASSIQUE ET QUANTIQUE : LES SURFACES DE RIEMANN.
YvesColindeVerdi`ere Institut Fourier et Institut universitaire de France
1. Introduction . — S’´etantconvaincuquelaplupartdese´quationsdiff´erentiellesdelam´ecaniquene sont pas int´egrables (enunsensanalytique,c’est-a`-direqu’onpeutre´duirelecalculdes solutionsa`desquadratureseta`lare´solutiond’´equationsalg´ebriques),HenriPoincar´ea proposedefaireunee´tudequalitativedestrajectoiresbase´eenparticuliersurl’ analysis ´ situs (appell´eeaujourd’hui topologie ) fondant ainsi un nouveau domaine scientifique que nous appellons lessyste`mesdynamiques . L’e´quationdiffe´rentielleestuneversionmathe´matiqued’unsyst`eme de´terministe (paroppositiona`unprocessusstochastiquedutypemouvementbrownienouchainede Markov). Cettesciencedessyst`emesdynamiques,ouplutˆotsabrancheconsacre´eauxsyste`mes instablesetchaotiques,estrevenuesurledevantdelasce`nedepuislesann´ees60sousle nom de th´eorieduchaos . Certainssyst`emesdynamiques,d´eterministesdonc,pre´senteunegrandeinstabilit´e dynamique ( effet papillon : un petit changement dans les conditions initiales se traduira atermeparuneevolutiontre`sdiffe´rente).Toutepre´visionestdonclimite´edansletemps ` ´ par l’insuffisance de l’information sur les conditions initiales. Pourcessyste`mes,onpeutparfoisadopterunedescriptionpurementstatistiquedes trajectoires(ergodicite´,me´lange).L’exempleleplussimpleade´j`ae´te´´etudie´parHadamard, ils’agitdesge´ode´siquessurunesurfacea`courburedeGaussne´gative;sansrentrerdans tropded´etails,disonsquelacourburene´gativeforceladivergenceexponentielledes ge´ode´siques;eneffetlesge´od´esiquesinfinimentprochesdelag´eode´siqueid´re´esont cons e alorsdonn´eesparl’e´quationdeJacobiquiestdelaforme X ′′ + KX = 0 o`u K est la courbure de Gauss et dont les solutions, si K = − 1, sont des exponentielles. 1
Certainssyst`emesdelam´ecaniquedesfluides,parexemplelese´quationsd’Euler,peuvent ´entrdelacourburen´egative(voirArnold[AR1]). pres e Lame´caniquenewtoniennen’estpassuffisantepourd´ecrireuncertainnombrede phe´nom`enesenparticulierdelaphysiquedes´echellesatomiques;elleestimpuissantea` expliquerlesraiesspectralesdesatomesetdesmol´ecules. Lame´caniquequantique,quicontientlame´caniquenewtonienneouclassiquecomme caslimite(unpeucommel’optiquege´ome´triqueestlecaslimitedel’optiqueondulatoire auxcourteslongueursd’ondes),fournitunmod`eleadapt´epourd´ecrirelaphysique`a l’e´chelledel’atome.Pouruneintroduction,onpeutconsulterparexemple[MA]ou[F-H]. Undescaract`ereslesplusmarquantsd’unsyst`emequantiqueestl’existenced’un spectre ,suitedenombresre´els E 1 < E 2 < < E n < quiestunesortedesignaturedusyst`emeconsidere´etquiestobservableexpe´rimentalement ´ (spectroscopies). Conside´ronsmaintenantunsyste`mequantiquequisoitprochedur´egimeclassique, onditalorsquelesyst`emeest semi- ou quasi-classique . Danslecaso`uladynamiqueclassiqueestint´egrable,lespectres’exprimeentermes denombresentiersappell´es nombres quantiques : ce sont les fameuses conditions de quantificationdeBohr-Sommerfeld.Uncasparticulierestceluidesge´ode´siquesdutore pourlequelonretrouvelathe´oriedesse´riesdeFourier. De´ja`en1917,dans[EI],Einsteinremarquaitquecesconditionsn’ontaucunsens pourunsyst`emeg´ene´rique(etdoncnonint´egrable).Unequestionnaturelleestalorsla suivante : quellespropri´ete´sduspectrequantiquesont-elleslatraceduchaosclassique? Lathe´matiquescientifiqueainside´criteportelenomde chaos quantique , nom mal adapt´e,cariln’yapas`aproprementparlerdechaosquantique:unsyste`mequantique estenfaitunsyst`emeclassiquelin´eaireendimensioninfinieetilestinte´grableentant quetel!!Ceproble`meestl’objetderecherchesintensesdepuisunevingtained’anne´esa` la recherche du chaos quantique . Uneformuleexacteremarquablerelielespectrequantiquea`sonanalogueclassique l’ensembledeslongueursdesg´eode´siquespe´riodiques: la formule des traces de Selberg (Selberg1956,[B-V],[HE]).Elledonneuneinformationsurlesoscillationsdeladensite´ spectraleentermesdeslongueursdesg´eod´esiquesp´eriodiques(encestermes,elleest g´ene´ralisableenuneformuleasymptotiquevalabledansler´egimesemi-classique,connue souslenomdeformuledestracesdeGutzwiller(1970-71),mais`alaquellesontaussi attach´lesnomsdeR.BalianetC.Blochetdontj’aidonn´edansmath`eseen1973 es lapremie`reformulationmath´ematique,ensuiteJ.Chazarain,puisH.Duistermaatet V.Guilleminontdonn´euneversionplusmaniable).Cesformulesnepermettentpas
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