Seminaire BOURBAKI Novembre 64eme annee no
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Seminaire BOURBAKI Novembre 2011 64eme annee, 2011-2012, no 1043 RESTRICTION DE REPRESENTATIONS ET PROJECTIONS D'ORBITES COADJOINTES [d'apres Belkale, Kumar et Ressayre] par Michel BRION 1. LE PROBLEME DE LA RESTRICTION POUR LES GROUPES DE LIE COMPACTS CONNEXES 1.1. Introduction Soient K un groupe de Lie compact connexe et L un sous-groupe ferme connexe. Le probleme considere dans cet expose est de determiner les representations irreductibles (continues, complexes) de L qui apparaissent dans la restriction d'une representation irreductible de K. En theorie, ce probleme a une solution complete : rappelons que les representations irreductibles de K sont parametrees par les poids dominants. Notons ?+K l'ensemble de ces poids, et VK(?) le K-module simple de plus haut poids ? ? ? + K . Definissons de meme ?+L et VL(µ) ; on a alors un isomorphisme de L-modules ResKL VK(?) ?= ? µ??+L m(µ, ?)VL(µ) ou les multiplicites m(µ, ?) sont des entiers naturels uniquement determines. En notant ?K(?) le caractere de VK(?) et ?L(µ) celui de VL(µ), on obtient m(µ, ?) = dim HomL(VL(µ),Res K L VK(?)) = ∫ L ?K(?)?L(µ) dl ou dl designe la mesure de Haar de L, normalisee de
Voir
- solution complete
- poids fondamentaux
- somme alternee d'entiers positifs
- systeme minimal
- groupe algebrique
- g?
- polytope convexe
- description du ??cone de la restriction ??
S´eminaireBOURBAKI 64e`meann´ee,2011-2012,no1043
Novembre 2011
´ RESTRICTION DE REPRESENTATIONS ET PROJECTIONS D’ORBITES COADJOINTES [d’apre`sBelkale,KumaretRessayre] parMichel BRION
` 1. LE PROBLEME DE LA RESTRICTION POUR LES GROUPES DE LIE COMPACTS CONNEXES 1.1. Introduction SoientKun groupe de Lie compact connexe etLsnuocnnxe.eeLous-groupeferm´e probl`emeconside´r´edanscetexpose´estdeelbise´rrtcudsenepe´rnoisatittermd´elesriner (continues, complexes) deLlarestrisentdanspaaparsiqiunioatntsee´rperenu’dnoitc irr´eductibledeK. Enthe´orie,ceproblemeaunesolutioncompl`ete:rappelonsquelesrepre´sentations ` irre´ductiblesdeKdodsnamis.nttoNoΛsnsontparam´te´reepsraelpsio+Kl’ensemble de ces poids, etVK(λ) leK-module simple de plus haut poidsλ∈ΛK+dseonssniefiD´. meˆmeΛ+LetVL(µon a alors un isomorphisme de ) ;L-modules ResLKVK(λ)∼=Mm(µ, λ)VL(µ) µ∈Λ+ L ou`lesmultiplicit´esm(µ, λitresenerulenstaontd)snimr.se´onnEtnatnisuemqutdente´e χK(λdee)lecaract`erVK(λ) etχL(µ) celui deVL(µ), on obtient m(µ, λ) = dim HomL(VL(µ),ResKLVK(λ)) =ZLχK(λ)χL(µ)dl ou`dleHedrdaaamelurese´dngiseLsortequeil´seeedn,roamRLdl=1.Grˆaceaux formulesdescaract`eresetd’inte´grationdeWeyl,onpeutdoncexprimerlafonction (µ, λ)7→m(µ, λco´iee`sa)nees´enndodeesrmtessaseriotanibmocKetL. Cependant, laformuleainsiobtenue([14,Lem.3.1])nepermetquerarementdecaract´eriserles couples (λ, µ) tels quem(µ, λ)6= 0, comme l’illustrent les exemples suivants. Exemple 1.1. — Prenons pourLun tore maximalTdeK. Soit Λ le groupe des car-acte`resdeT; alors Λ+:= ΛK+est l’intersection du groupe des poids Λ = ΛT+et de la chambre positiveCeirotcevΛlee´rldansl’espaceR:= Λ⊗ZR. De plus,m(µ, λ) est la multiplicite du poidsµdansVK(λ) =:V(λ). ´
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Laformuledescaracte`resdeWeylsere´e´critsouslaforme m(µ, λ) =Xε(w)P(w(λ+ρ)−(µ+ρ)) w∈W ou on noteWle groupe de Weyl,ε:W→ {±1}te´eedl(tnanimreralruopsentpr´enatio ` deWdans ΛR),ρla demi-somme des racines positives, etPla fonction de partitions en racines positives ([9, Ch. VIII,§9, Prop. 1]). Ceci exprimem(µ, λ) comme une somme altern´eed’entierspositifs,enge´ne´raltr`esgrands. Cependant, l’ensemble des poids deV(λ:elpirndteec`etrimssemutenedcsirtpoi)ad c’estl’intersectiondutranslat´eλ+ ΛR`uΛoR´dgeeneΛedpuorg-suoselengid´es n re par les racines, et de l’enveloppe convexe Conv(W λ) de l’orbite deλparW([9, Ch. VIII, §7, Prop. 5 et Exer. 1]). LorsqueKest semi-simple, le polytope Conv(W λ)efost´ermsdeµ∈ΛRqui sont solutionsdusyst`emed’in´equationsline´aires (µ, w$i)−(λ, $i)≤0 (i= 1, . . . , r, w∈W/Wi) ou$1, . . . , $rtlesgnen´esidemaduatndiopnofsx,Wile groupe d’isotropie de$idans ` W, et (−,−Λiruqserulraefsoyrmm´eebtilin´ea)iRprovenant de la forme de Killing. Si depluslarepr´esentationdeKdansV(λnnyo)uanutnemrofsnoituaeqn´sicei,finau syste`meminimal:ellessontdeux`adeuxnone´quivalentes,etchacuned´efinituneface de codimension 1 de Conv(W λ). Exemple 1.2. — Considerons l’inclusion diagonale deKdansK×K. Avec les notations ´ del’exemplepre´c´edent,lesK×K-modules simples ne sont autres que les produits tensorielsV(λ)⊗V(µ`)uλ, µ∈Λ+.mseLtiulicpl´eitsm(ν, λ, µ) sont classiquement o not´eescµ,νλeppatesee´lcoefficients de Littlewood-Richardson; on a donc un isomorphisme deK-modules V(λ)⊗V(µ) =∼Mc,µνλV(ν). ν∈Λ+ Ond´eduitdelaformuledescaract`eresdeWeyll’identite´ cν,λµ=Xε(ww0)P(w(λ+ρ) +w0(µ+ρ)−(ν+ 2ρ)) (w,w0)∈W×W ([9, Ch. VIII,§semoemlaetnre´esteeitrounrecoenmelu`o)]dederbmeop.29,Pr d’entiers positifs. Par ailleurs, lescλ,νµedste´einrmbiomnccoa¸eftdenalrap,eriotan re`gledeLittlewood-RichardsonlorsqueKest le groupe unitaire Un([28, I.9]), et par le hhmod`eimsneledcsehiipourKarbitraire ([27]). En notantν∗le plus haut poids duG-module simple dualV(ν)∗, on obtient cλν∗,µ= dim(V(λ)⊗V(µ)⊗V(ν))G. En particulier,cνλ∗,µsestmye´rtqieuneλ,µetν. Posons LR(K) :={(λ, µ, ν)∈(Λ+)3|cλ,ν∗µ6= 0}.
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On verra en 2.1 que LR(Knom-suosnutse)deniefiypetedıdo¨(Λ+)3, et en 2.2 que le sous-groupe de Λ3ngedrenpa´eR(rLKse)roftde´m(seλ, µ, ν) tels queλ+µ+ν∈ΛR. LorsqueK= Un, on pose LR(K) := LRn; on identifie les poids dominants aux suites de´croissantes(λ1≥. . .≥λndeeivrscu´enrioptricsedenU.sfitaler’entiersorm´eesdf) LRnest obtenue par la combinaison de travaux de Klyachko ([22]) et de Knutson et Tao ([24]) : (λ, µ, ν)∈LRnseist´tilagentmeleeu’´alonsi e n n n Xλi+Xµj+Xνk= 0 i=1j=1k=1 etlesine´galit´es Xλa+Xµb+Xνc≤0 a∈A b∈B c∈C pour tous les sous-ensemblesA, B, Cde{1, . . . , n} mbre ˆui ont lrel´ementsd’´ q e meme no (o`ur= 1, . . . , n−1) et qui satisfont (λ(A), λ(B), λ(C)−(n−r)r)∈LRr ou`λ(A) := (n−r+ 1−a1, . . . , n−ar) lorsqueA= (a1<∙ ∙ ∙< ar),eto`unoopes (n−r)r:= (n−r, . . . , n−r).utKn,noseoaTooWtrawdsontiuaeqn´sieleuqe´rtnomtnod pour lesquellesc(cλ(rA−),λr,.(.,Bc.)1−1)imin([alt`ysememnemrsnutof1=)].52S,ce6. Pour un groupeKarbitraire, lehhwelttiLehciR-doomedıdo¨ononardsiiLR(K) est en ge´ne´ralinconnu.Maislecˆonequ’ilengendreestconvexe,poly´edraletrationnel,eton saitled´ecrirepardesin´equations;lere´sultatleplusfinestdˆu`aBelkaleetKumar ([4])apr`esdenombreuxtravauxante´rieurs.Lamyst´erieuseconditionsurlestriplets d’indices (A, B, Cnegareete`estent’iprer)str.uhebedcSclludecarmesentelise ´ ´ Plusg´ene´ralement,lemonoı¨deasso¸gauprobl`emed cie´defaconanaloueelarestriction estdetypefini;lesine´quationsminimalesducˆonequ’ilengendreonte´t´eobtenuespar Ressayredansl’article[33].Apre`squelquespr´eliminairesdethe´orieg´eom´etriquedes invariants,onexposeraunepartiedecetarticle,pouraboutira`ladescriptionduhhˆonec de la restrictioniiitucilred,u9)4.me`earnp,eetroe´ht(hhnedeLittlewood-Rcoˆahciosdrnii (the´or`emes4.10et4.11).Ontermineraparunebe`´ntationdesre´sultatsde[4], r ve prese ainsiquedetravauxult´erieursetdequestionsouvertes. 1.2. Projection d’orbites coadjointes Unlienentrerestrictionderepre´sentationsetprojectiond’orbitescoadjointesa´et´e de´couvertparHeckman([14]),puisg´ene´ralis´eparGuilleminetSternberg([13])dans lecadredelag´eom´etriehamiltonienne.Pourpr´esentercelien,introduisonsquelques notations. Le groupeKeiLg`ebredeanssonalo`predekjoadteintaenontiperase´rlraptoeo;nn k∗ee´leppa,elaudnoitentar´esarepedelpscale’coadjointend.O´efinitdemˆemeletl∗. L’inclusion deldanskse transpose en la projection p:k∗→l∗
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