Scientifique (cours
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- cours - matière potentielle : page
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Français
e 4 -programme 2007 - mathématiques–ch.3 - cours (D’après Hachette- Déclic 2011-ch.2)
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Ch.3 : Fonctions de référence 1FONCTIONS DE RÉFÉRENCE DÉJÀ CONNUES1.1Les fonctions affines DÉFINITION1 Unefonction affinefest une fonction définie surIRpar :f(x) =ax+b, oùaetbsont deux réels fixés. Remarques : Sib= 0, l'expression defestf(x) =axetfest une fonction linéaire. Sia= 0, l'expression defestf(x) =betfest une fonction constante. PROPRIÉTÉ1 On considère la fonction affinefdéfinie surIRpar :f(x) =ax+b, oùaetbsont des réels donnés. Siaest positif, la fonction affinefest croissante surIR. Siaest négatif, la fonction affinefest décroissante surIR. La courbe représentative defdans un repère du plan est une droite. Sia> 0:Sia< 0:
1.2La fonction carré DÉFINITION2 2 Lafonction carréest la fonctionfdéfinie surIRpar :f(x) =x. PROPRIÉTÉS2 La fonction carré estdécroissante sur]–; 0]et croissante sur[0; +[.
La courbe représentative de la fonction carré s'appelle uneparabole. Dans un repère orthogonal du plan, elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
1.3La fonction inverse DÉFINITION3 1 Lafonction inverseest la fonctionfdéfinie surIR \ {0}par :f(x) =. x PROPRIÉTÉS3 La fonction inverse est décroissante sur chacun des intervalles]–; 0[et [0 ; +[.
elle uneLa courbe rerésentative de la fonction inverse s'ah erbole. Dans un repère du plan elle est symétrique par rapport à l'origine.
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes)
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Exercice corrigé :Utiliser les variations des fonctions de référence1 2 1)Justifier que, pour tout réelx< 0, on a<x. x 1 2 2)Conjecturer, à l'aide de la calculatrice, l'ordre entrexet pourtout réelxstrictement x positif. 3)Démontrer cette conjecture en utilisant les variations des fonctions carré et inverse. Solution :Méthode : 1Un réel non nul et son 2 1)Six< 0est négatif et, alorsxest inverse sont de même signe ; x un carré est toujours positif. ositif ; 1 2 donc :< 0 <x. x
2)La position relative des deux est au-dessus d'une courbe, pour unLorsqu'une courbexcourbes sur la calculatrice permet de conjecturer que :donné, l'ordonnée du point surest supérieure à l'ordonnée du 1 2 lorsque0 <x1, on ax,: les positions relatives de leurs courbes permettent depoint sur x 2comparer les deux fonctions. et lorsquex1, on a1<x. L'observation de l'écran ne permet de voir qu'une partie des courbes, on ne peut donc pas être sûr de chaque inégalité sur tout l'intervalle considéré. 1 3)L'image de1par la fonction inverse est égale à1= 1, comme l'image de1par la fonction carré 1 2 (11 =). Donc le point de coordonnées(1 ; 1)est commun aux deux courbes. La fonction carré est croissante sur]0 ; 1];Deux réels positifs et leurs carrés sont rangés dans 2 2 le même ordre. donc, six]0 ; 1],x1. La fonction inverse est décroissante sur]0 ; 1];Deux réels strictement positifs et leurs inverses 1 1sont rangés dans l'ordre contraire. donc, six]0 ; 1],. x1 1 1 2 2 Ainsi, lorsquex]0 ; 1),1xet doncx. x x Sur l'intervalle[1 ; +[la fonction carré est croissante et la fonction inverse décroissante ; 1 1 2 2 donc, six[1 ; +[,x1et. x1 1 2 Finalement, on obtient lorsquex[1 ; +[:<x. La conjecture est prouvée. x
2LA FONCTION RACINE CARRÉE2.1Définition, sens de variation et représentation graphique DÉFINITION4 La fonctionracine carréeest la fonctionfqui à tout réel positif (ou nul)xassocie sa racine carrée, c'est-à-dire le réel positif (ou nul) qui a pour carréx. La fonction racine carrée estdéfinie sur l'intervalle[0 ; +[par :f(x)=x. PROPRIÉTÉ4
La fonction racine carrée estcroissante sur l'intervalle[0 ; +[.
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Démonstration : Soit deux réelsaetbtels que0ab. On veut compareraetb. (a–b)(a+b) Pour cela, on calcule leur différence :a–b=. a+b a–b 2 2 On utilise l'identité remarquable(x–y)(x+y) =x–ypour obtenir :a–b=.a+b Commeab, alorsa–best négatif eta+best positif en tant que somme de deux réels positifs. Ainsi, avec la règle des signes d'un quotient, on obtient :a–b0, ou encoreab. Les imagesaetbsont rangées dans le même ordre que les nombres positifsaetbde départ, d'où la croissance dexxsur[0 ; +[.
Exercice corrié :Utiliser la fonction racine carrée2 1)Déterminer l'ensembleDformé des réelsxpour lesquels l'expression–x+x+ 2est définie. 2 2)On appellefla fonction définie surDpar :x–x+x+ 2. a)Conjecturer, à l'aide de la calculatrice, l'existence d'un extremum pourf. 2 b)Montrer que la fonctionx–x+x+ 2admet un maximum en une valeur que l'on précisera. c)Démontrer la conjecture émise ena). Solution :Méthode : 1)Pour que cette expression soit définie, il faut et il suffitLa fonction racine carrée est définie sur 2 [0 ; +.que–x+x+ 20.[ 2 On calcule le discriminant := 1–4(–1)2 = 9. 2 Comme> 0, le trinôme–x+x+ 2a deux racines : 2 –1–3–1 + 3Si> 0, alorsax+bx+cest du signe de x2= =etx= =–1. 1 2 –2–2apour toutes les valeurs dex, sauf celles On peut alors conclure :D = [–1 ; 2]. situéesentre les deux racines. 2)a)Avec la calculatrice, il semble quefadmet un maximum en0,5et que ce maximum vaut1,5. 2 ol nômeUne fonctionde b)La fonctionx–x+x+ 2est degré2est « d'abord « d'abord croissante, puis décroissante », donc elle admet uncroissante, puis maximum. décroissante» quanda< 0. –1 1araboleLe sommet de la Ce maximum est atteint en=re résentantune fonction 2(–1) 2 2 2 trinômexax+bx+ca 1 1 et vaut–2 = 2,25+ +. –b 22 pour abscisse 2a 2 c)D'aprèsb), pour toutx[–1 ; 2], on a–x+x+ 22,25etLa fonction racine carrée est 1croissante sur[0 ; +[, l'égalité est vérifiée pourx=. donc des nombresositifs 2 et leurs racines carrées sont 2 D'où : pour toutx[–1; 2],–x+x+ 2 2,25. rangés dans le même ordre.1 Ainsi, pour toutx[–1 ; 2], on a :f(x)1,5avec égalité six=, 2 ce qui prouve la conjecture émise ena). 2 2.2Comparaison des réelsx,xetx, pourx0PROPRIÉTÉS5 2 Si0x1, alors :xxx. 2 Six> 1, alors :xxx.
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Démonstration :
Voir la démonstration à l'Activité 2, page 48.
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2 Conséquence :Positions relatives des courbes représentatives des fonctions :x x,x xetx x Sur l'intervalle[0 ; 1], la courbe représentant la fonction carré est en-dessous de la droite d'équationy=x, qui est elle-même en-dessous de la courbe représentant la fonction racine carrée. Sur l'intervalle[1 ; +[, les positions de ces trois courbes sont inversées.
Remar ues: Sur la figure, les points de coordonnées(0 ; 0)et(1 ; 1)sont communs aux trois courbes. (Voir le problème 100, p. 71.) On a vu que si un nombre appartient à l'intervalle[0 ; 1], il est supérieur à son carré, et inférieur à sa racine carrée…! 3LA FONCTION VALEUR ABSOLUE3.1Définition et notation DÉFINITION5 Lafonction valeur absolueest la fonctionfdéfinie surIRpar : six0, alorsf(x) =x; six0, alorsf(x) =–x.NOTATIONLavaleur absolued'un nombre réelxse notex. On a donc :x=xsixest positifetx=–xsixest négatif. Consé uences: 1)Pour tout nombre réelx,x0. 2)x= 0équivaut àx= 0. 3)Deux nombres réels opposés ont la même valeur absolue : pour tout nombre réelx,–x=x. 4et seulement siDeux nombres réels ont la même valeur absolue siosés :aux ou oils sont é x=yéquivaut àx=youx=–y. 2 5)Pour tout nombre réelx,x=x. Démonstration :
Voir les démonstrations à l'exercice 63, page 65.
3.2Variations et représentation graphique PROPRIÉTÉ6 La fonction valeur absolue estdécroissante sur]–; 0]et croissante sur [0 ; +[.
hi uede la fonction valeur absolue est laLa rerésentation raréunion de deux demi-droites.
Démonstration :
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La fonctionx–xest une fonction affine décroissante et la fonctionxxune fonction affine croissante. D'où le tableau de variations et la représentation graphique ci-contre. Remar ue: Dans un reère orthoonal, la rerésentation rahi uede la fonction valeur absolue est smétri uear rapport à l'axe des ordonnées. 3.3Valeur absolue et distance PROPRIÉTÉS7 Sixest un nombre réel etMle point d'abscissexsur une droite graduée de repère(O ; I), alorsOM =x. Siaetbsont deux réels,AetBles points d'abscisses respectivesaetbd’une droite graduée, alors :AB =a–b=b–a.
Remarque : Siaest un nombre réel, etrun nombre réel positif, l'intervallea–r;a+rest formé de tous les réelsxqui sont à une distance deainférieure ou égale àr. Ainsi :x[a–r;a+r]équivaut àx–ar. Exercice corrigé :Résoudre un problème de distance en utilisant la valeur absolueSur une droite graduée, les pointsAetBont pour abscisses respectives–5et3. On cherche à déterminer tous les pointsMde la droite vérifiant :AM2 BM. Mdésigne un point variable sur la droite graduée ; on appellexson abscisse. 1)Le pointOappartient-il à l'ensemble recherché ? 2)Exprimer les distancesAMetBMen fonction dex, en utilisant la valeur absolue. 3)a)crireAMen fonction dexsans utiliser la valeur absolue, en distinguant les casx–5et x–5. b)Écrire de mêmeBMen fonction dexen distinguant deux cas. 4)Quel est l'ensemble des pointsMde la droite vérifiantAM2 BM? Solution : 1)AO =–5–0= 5etBO =3–0= 3; donc2 BO = 6etAO < 2 BO. Le pointOn'appartient donc pas à l'ensemble recherché.Méthode : 2)On exprime les distancesAMetBMà l'aide deSoitaetbdeux réels,AetBles points la valeur absolue :d'abscisses respectivesaetbd'une droite AM =x–(–5)=x+ 5etBM =x–3; alors. graduéeAB =a–b=b–a.3)a)Six–5,x+ 50, doncx+ 5=–x–5et six–5,x+ 50,SiX0, alorsXX =. doncx+ 5=x+ 5. SiX0,X =–X.b)Six3,x–3=–x+ 3et six3,x–3=x–3. 4)On doit résoudre l'inéquation(I):x+ 52x 3.On écrit l'inéquation sans valeurs On est ainsi amené à étudier trois cas :absolues en distinguant plusieurs cas. Six5,(I)équivaut à–x–52(–x+ 3), ou encore àx11. x–5etx11étant incompatibles, ce cas ne donne pas de solution. 1 Si–5x3,(I)équivaut àx+ 52(–x+ 3), ou encore à3x1, soit àx; 3 1 d'où l'intervalle solution, 3. 3 Six3,(I)équivaut àx+ 52(x–3), ou encore àx11; d'où l'intervalle solution[3 ; 11]. Bilan : les pointsMde la droite vérifiantAM2 BMsont ceux dontOn prend la réunion des 1ensembles de solutions trouvés l'abscisse appartient à l'intervalle, 3. pour les différents cas. 3 H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes)http://rorthais.math.free.fr
