Récurrence et limites.
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Chapitre 4 Récurrence et limites. I Généralités sur les suites. 1 Rappels de vocabulaire et notations. Soit (un) la suite définie pour tout n par un = n− 2n+ 1 Définition • le nombre n de l'exemple précédent s'appelle l'indice, ou le rang. • u(n) = n− 2n+ 1 s'appelle le terme général de la suite. • La suite elle même peut être notée (un) avec des parenthèses ou bien tout simplement u, comme une fonction.
Voir
- u0
- u0 ∈
- propriété précédente
- un2
- récurrence
- preuve de la proposition
- preuve
- preuves
- proche au proche
- proche en proche
- exercice
- exercices
- définitions
- définition
Chapitre
4
Récurrence
I
1
et
limites.
Généralités sur les suites.
Rappels de vocabulaire et notations.
Soit(un)la suite définie pour toutnparun=nn+−12 Définition •le nombrenprécédent s’appelle l’indice, ou le rang.de l’exemple −2 •u(n) =nn+ 1s’appelle le terme général de la suite. •La suite elle même peut être notée(un)avec des parenthèses ou bien tout simplementu, comme une fonction. Dans la suite du cours, sauf mention du contraire, les suites sont définies surN, mais une suite peut être définie à partir d’un certain rang.
2 Définition explicite d’une suite.
DéfinitionLa suite(un)est définie de manière explicite s’il existe une fonction numériqueftelle que, pour tout entiern,un=f(n). − ⋆ExempleDans l’exemple précédent,un=f(n)avecf:x7→−xx21+. Représentation graphique.La représentation graphique d’une suite définie de manière explicite est formée de points de coordonnées(n;un)dans un repère.
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CHAPITRE4.RÉCURRENCEETLIMITES.
On remarque que les points se trouvent sur la représentation graphique def.
Donner, avec la calculatrice, les premiers termes de la suite(un)de terme généralun= 3nn+−12, puis la représentation graphique.
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La récurrence.
a. Définition par récurrence d’une suite.
DéfinitionUne suite suite(un)est définie par récurrence si on donne son premier termeu0et si on sait calculer le termeun+1en fonction du terme précédentunpour toutn. ⋆ExempleSoit la suite définie par :
u0= 3 1ier un+1=un+ 1pour tout entn
Xu1=11+1=4. u0 1 1 4 = = Xu21 =+ 1. u4 5+ 1 Xu3=1=1+595=11+. u2 La relation qui lieunetun+1s’appelle une relation de récurrence. Cette relation permet, éventuellement avec un temps long, de calculer n’importe quel terme de la suite.
b. Représentation graphique des termes d’une suite récurrente.
