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Ramanujan J. 9 (2005), 139–202. Proprietes statistiques des entiers friables? R. de la Breteche & G. Tenenbaum Sommaire 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1 Entiers friables cribles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Valeurs moyennes friables de fonctions arithmetiques. . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 Preliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Voir
- ?m
- comportement asymptotique
- exploitation de l'equation fonctionnelle de buchstab
- preuve du theoreme
- resultats de comportement local
- estimation de ?
- integrale de perron inverse
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Ramanujan J.9 (2005), 139–202.
∗
Propri´ete´sstatistiques des entiers friables∗
R. de la Bret`eche & G. Tenenbaum
Sommaire 1Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 2uleststaR´. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 2.1 Entiers friables cribl´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 2.2 Valeurs moyennes friables de fonctions arithm´etiques. . . . . . . . . . . . . . . . .8 3aiinsrer´Pimel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 3.1 Point-selle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 Preuve du Corollaire 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 Sommes sur les nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 3.4 La fonction de Dickman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.5 Estimations de crible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.6 Estimations relatives `agm(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 42.2.airerollduCo1.teme2eoe`rTu´hsdveeuprs:´eblricselbairfsreitnE. . .35 4.1 Estimation de Ψm(x, y) pour les petites valeurs deu.. . . . . . . . . . . . . . .35 4.2 Estimation de Ψm(x, y) pour les grandes valeurs deu.. . . . . . .. . . . . . . 45 5Comportement local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.1PreuveduTh´eor`eme2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 5.2PreuveduTh´eore`me2.4:casm= 1. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 50 5.3PreuveduThe´or`eme2.4(i):casg´ene´ral. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 54 5.4PreuveduTh´eor`eme2.4(ii):casge´ne´ral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 6Valeurs moyennes de fonctions arithm´etiques. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 56 6.1 Preuve du Corollaire 2.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56 6.2PreuveduThe´ore`me2.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.3 Preuve du Corollaire 2.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 6.4 Preuve du Corollaire 2.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60 6.5 Preuve du Corollaire 2.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 6.6 Preuve de la Proposition 2.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
Nousincluonsicicertainescorrectionsparrapport`alaversionpublie´e.
2ed.Ret`elaBrtG.Tcheeabmunene 1. Introduction La d´ omposition canonique d’un nombre entiernsous la forme ec n=ab,aveca:=pν, b:=pν, pνn pνn py p>y constitueunoutilefficacedansbeaucoupdeprobl`emesarithme´tiques.Alorsque les techniques de crible sont pertinentes pour l’´etude des facteursb, des m´ethodes spe´cifiquessontne´cessairespourappr´ehenderlesfacteursa. De´signonsparP(n) le plus grand facteur premier d’un entiern >1 et convenons queP(1) = 1. L’´etude de l’ensembleS(x, y) des entiersy-friables n’exc´edant pasx, autrement dit des entiersntels queP(n)yetnxinsir´ev´el´ee,cse’s,atse derni`eresanne´es,commeunepartieint´egrantedelathe´orieanalytiquedesnombres. En ce qui concerne la fonction de comptage Ψ(x, y) :=|S(x, y)|, troisapprochesont´et´eutilis´eesa`cejour:l’exploitationdel’´equationfonctionnelle de Buchstab, dans les travaux de de Bruijn [4] ; celle d’une ´equation integrale avec ´ param`etre dans l’article de Hildebrand [14] ; et la mise en œuvre de la m´ethode du col par Hildebrand et Tenenbaum [16]. Chacune de ces trois m´ethodes poss`ede ses avantages et inconv´enients propres. Cependant, la m´ethode du col fournit, en compl`ete exclusivit´e, des renseignements spe´cifiquesd’untypenouveau:lesformulessemi-asymptotiques,selonl’expression d’Erd˝os,quipermettentd’´evaluerΨ(cx, y) en fonction de Ψ(x, ydesdansˆeme)m domaines enx, ye’nsetequantitlasecondedere`iluge´rnoiatimoxprapnecuauo,u` ´ connue,voiremˆemepossible—cf.[28]pourunediscussiond´etaill´eesurcetaspect de la question. Nousd´esignonsl’ensembledespropri´et´esrelatives`acesphe´nome`nessousleterme decomportement local. La connaissance du comportement local de Ψ(x, yontira´esali´gneedal)te (1·1) Ψm(x, y) :=1 n∈S(x,y) (n,m)=1 est capitale dans la plupart des probl`emes arithm´etiques utilisant les entiers friables. Cela explique pourquoi l’´etude des fluctuations locales de Ψm(x, y) a suscit´eunnombreimportantdetravauxdepuisunequinzained’ann´ees:voir notamment Hensley [12], Friedlander–Granville [9], Hildebrand [13], [15], Granville [10], Hildebrand–Tenenbaum [16], et, pour le cas particulierm=pzp, Saias [23]. Cetarticleestessentiellementd´evolu`afournir,pourlecomportementlocaldela quantit´e (1·1), un document synth´etique contenant des formules aussi pr´ecises et aussige´ne´ralesquelepermettentlestechniquesactuellementdisponibles.
Propri´et´esstatistiquesdesentiersfriables3 Sinotremotivationpremiereconsiste`a´etablirlesestimationsn´ecessairesa`la ` preuve,d´evelopp´eedans[3],d’unein´egalite´detypeTura´n–Kubiliuspourl’ensemble des entiers friables, nos r´esultats sont ´egalement susceptibles de nombreuses autres ` applications. A titre d’illustration, nous en d´eveloppons ici quelques unes, concer-nant les valeurs moyennes de fonctions arithm´etiques sur l’ensemble des entiers friables.Lese´nonce´scorrespondantssontpr´esent´esauparagraphe2.2. 2.Re´sultats 2· friables cribl´1. Entiers es Le col, ou point-selle, apparaissant dans l’´evaluation de Ψ(x, y) comm ale int´ e egr de Perron inverse est d´efini, pourxy2, comme l’unique solution positive α:=α(x, ynioatqu´el’de) (2·1)log−p log1 =x. α pyp Touslesre´sultatsdecomportementlocalsontalorsdutype (2·2) Ψ(cx, y)≈cαΨ(x, y) sous diverses contraintes concernant les tailles relatives dec,x,y. Bien qu’elle soitd´efinieimplicitement,laquantit´eαmeteormpcounde`essopeutoqimytptnsa suffisamment´elucide´—cf.,notamment,leLemme3.1infra. D´efiniss ons gm(s) :=(1−ps) =μ(d)/ds, − p|m d|m ou`μe(qu2alengisenoitcnofd´ed’letunsiitehruobiudeM¨mptes.Co·2), le terme principal attendu pour Ψm(x, y) =μ(d)Ψ(x/d, y) d|m est μ(d)Ψ(x, y)/dα=gm(α)Ψ(x, y), d|m lorsquemesty-friable. Notre premier r´esultat ´etablit qu’une telle approximation est effectivement val-abledansunlargedomaine.Conform´ementa`l’usage,nousposonsdanstoutce travail u:= (logx)/logy, u:= min{u, y/logy} etnousde´signonsparω(n) (resp. Ω(nle nombre des facteurs premiers de l’entier)) t´es sans (resp. avec) multiplicit´e. Nous introduisons ´egalement la quantit´e ncomp (2·3)Wm:= logpω(m)logω(m) + 2(m1)
4maueT.Gbnence`tteeh.delaBreR o`upkesd´neigelket´diommocrap,tneivno’onco`uleretremirbpenemo`ime-d’e´criture,quep0= 2. Nous notons encore /logx) (2·4)ϑm=ϑm(y) := loWgmy , α=α(x, ylo:)gol=g+1(yy, ϑm ⎧ϑ1m+{ϑu(ogollu+(gu)2+}2) siy >(logx)2 , m (2·5)Em:=Em(x, y) =⎩⎪⎨⎪u(uuogloglyy)ϑm1 +ϑmα1olgysiy(logx)2.
Th´eor`eme2.1.Sous les conditions (2·6)xy2, P(m)y, ω(m) √y, on a (2·7) Ψm(x, y) =gm(α)Ψ(x, y)1 +OEm(1u+Em). Lad´efinitiondeEm(x, ye,explomegd´usnomisnoega-aide´m)´`etnartletavimenect tementquelquescons´equencessimplesduTh´eor`eme2.1.Acettefin,nousposons E∗m(x, y) :=Em(1 +Em)/u et, avec la notationt+:= max{0, t}(t∈R), (2·8)δ=δ(x, y) := (1−2α)+/2(1−α). Nous notons que 0δ21en toute circonstance alors queδ= 0 siy >(logx)2. Nous consid´erons les conditions suivantes :(1) (C1)ω(m)y1/log(u+2) (C2)y1/log(u+2)ω(m) √y/logy (C3)√y/logyω(m) √yet (log2x)(log3x)logy (C4)√y/logyω(m) √y/(logy)δet logy(log2x)(log3x).
1. Ici et dans la suite, nous notons logklak-ie´tieme`aledee´rtionfoncrithlogaem.
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Proprie´te´sstatistiquesdesentiersfriables Corollaire 2.2.Sous les conditionsxy2etP(m)y, on a ⎧ϑmϑmlo 1si1 αugu(u+ 2)u(C)e´si,ertselae´ (2·9)E∗m(x, y)⎨⎪log(ϑu2m+ 2)si(C2)ou(C3),ee´raeil´sets ⎩⎪1si(C4)´etres.ee´sila Lecorollaireestd´eduitduthe´ore`meenobservantque,pourchacunedesdeux expressions (2·5), la quantit´eEm(x, y)/ϑmta`,tsesnfisetuo,uesiluttincfoneno croissante deϑmdonnons les d´etails au paragraphe 3.2. Cependant, nous. Nous notonsd`esa`pr´esent,afinsder´ef´erenceulte´rieure,quel’ona ` (2·10)Emϑm, E∗m(x, y)ϑm/u(xy2). Cesdeuxestimati´ltentaise´mentde(3·4) et (3·13)infra. ons resu Remarques.(i) Lorsquey= (logx)1+λavecλ1, les deux expressions deEm(x, y) apparaissant dans (2·.deurgranrededroemeˆmudtnos)5 (ii) Le cas particulier (2·11)m:=p, pz qui correspond donc au probl` des entiers sans grand ni petit facteur premier, eme a´ete´notammentetudie´parFriedlander[8]quandyetzsont de l’ordre d’une ´ puissance dexet par Saias [23] sous la conditionπ(z) √y. Lorsque nous y spe´cialisonsmsous la forme (2·atluse´rson,)11isomniassuujoursautssontto pre´cisqueceuxde[23].(2) (iii)LeTh´eore`me2.1rectifieetpr´eciselethe´ore`me1deXuandans[34],o`u l’auteur annonce, pour chaqueε >nde´te’lemitsoita0fix´e,lavalidi (2·12) Ψm(x, y) =gm(α)Ψ(x, y)1 +Olog(uϑm+ 2), uniform´ement dans le domainey(logx)1+ε,ω(m)√y. La formule (2·12) est moinspre´ciseque(2·9) lorsque (C1), (C2) ou (C3edslaiomees´an.D´rtsilaee)en comple´mentaire,lapreuvedonn´eedans[34]estinsuffisante.Nousdecrivonsen ´ de´tail,auparagraphe3.6,(3)au lemme 5 de [34]. Cettel’inexactitude apparaissant erreur est sans incidence dans les deux premiers cas de validit´e de (2·9). En revanche, sous l’hypoth`ese (C4), eta fortiorisous la condition (C5)√y/(logy)δω(m)√yet logy(log2x)(log3x), 2.Voirenparticulierleth´eor`eme7de[23]. 3. Voir la remarque qui suit le Lemme 3.14.
6.GeTehteuamenbnRel.dreaBect` la preuve de [34], une fois corrig´ee, fournit seulement Ψm(x, y) =gm(α)Ψ(x, y)1 +Oϑmloug2(loug2+y/2l)ogy, ce qui n’implique certainement pas (2·13) Ψm(x, y)εgm(α)Ψ(x, y) lorsque, par exemple,ω(m) √y, (logx)1+εy(logx)2−εavecε∈]0,12[. En fait,commel’attestel’´enonce´duCorollaire2.2,nousnesavonspas´etablir(2·13) sous la condition (C5). Notreme´thode,quipermetd’appr´ehenderlecas2y(logx)1+εexclu par Xuan, est radicalement diff´erente de celle de [34] lorsque le param`etreuest petit : voir notamment le Lemme 3.18 et la Proposition 4.1infra. Nous verrons au paragraphe 2.2 que certaines applications(4)lavereu´enssceenit’´td le rapport (214)ΨΨm((xd/y,/dx,y)) · inde´pendammentded∈[1, xautnleqatie´].hTuduvuAeme`roe´usno1,2.qunsvosa (2·14) est proche degm(α(x/d, yauprixd’epermet,nuNo).eptr)oe´hme`rhcortnia terme d’erreur acceptable, de choisir comme approximation l’expression plus simple gm(α) ouα=α(x, y). ` The´or`eme2.3.Soientε >0,K >0. Sous les conditions (2·15)x2,1dx,(logx)1+εyx, P(m)y, ω(m)K, il existe une constanteC´eed,nuedependantqK, telle que l’on ait, uniform´ement parrapporta`x,y,d,m, (2·16) Ψmxd,y=gm(α)Ψyx,d1 +OE(x, y;d) avec (2·17)E(x, y;dol1=:)gyloguu+1+2−t+xdC oul’onapose´t:= (logd)/logy. ` Lorsque l’on ins`ere l’heuristique (2·2) dans le terme principal de (2·16), on obtient pour Ψm(x/d, y) l’approximationgm(α)Ψ(x, y)/dαneultar´es.Leinutofruavtnstiu mesure quantitative de la qualit´e de cette approximation. Nous introduisons la notation (2·18)uy:=u+ (logy)/log(u (+ 2)y2) qui simplifie l’´ecriture des termes d’erreur. Il est `a noter queuy(logy)/log2(2y) pourxy2. Nous rappelons par ailleurs la d´efinition (2·8) deδ=δ(x, y). 4. Voir, par exemple, la formule (2∙25)infraou les d´eveloppements de [3].
