Principes de micro-économie

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Tyma Eléonore

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Principes de micro-économie

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Principes de micro-économie

Propriétés d’une économie à l’optimum

1. Rappel sur l’optimisation sous contrainte

CONTRAINTE g(x1, x2) = K

?

f = M

x1

x2

On cherche à maximiser une fonction f(x

1

, x

2

) sous la contrainte g(x

1

, x

2

)

Max U = f(x

1

, x

2

)

s.c.

g(x

1

, x

2

) = K

x

1

≥

0

; x

2

≥

0

Ceci est équivalent à maximiser

(

)

(

)

1

2

1

,

2

,

(

f

x

x

g

x

x

K

ϕ

λ

=

−

−

[

]

)

Au point d’équilibre, on a : f(x

1

,x

2

) = g(x

1

,x

2

) = K

ϕ

’

x1

(x

1

,x

2,

λ

) = 0

ϕ

’

x2

(x

1

,x

2,

λ

) = 0

soit

-

λ

= 0 et

-

λ

= 0

f

'

1

g

'

1

f

'

2

g

'

2

d’où

λ

=

f

g

f

g

'

'

'

'

1

1

2

2

=

Ce coefficient est appelé « coefficient de Lagrange »

On a alors dg = g’

1

dx

1

+ g’

2

dx

2

=

1

λ

( f’

1

dx

1

+ f’

2

dx

2

) =

1

λ

df

df =

λ

dg

On remarque donc que

λ

est égal à ce que l’on gagne si l’on desserre la contrainte. On

comprend immédiatement que , si f est une fonction économique, un bénéfice net par exemple

que l’on tire de l’emploi de x

1

et de x

2

et si g(x

1

, x

2

) est une contrainte qui pèse sur l’emploi

1