Petit cours d'automatique
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Petit cours d’automatique
– Pourquoi ce cours ?
– Modele` d’un systeme` physique
´ ´– Resolution par transformee de Laplace
– Reponse´ en frequence´ , spectre
– Commande par retro action´
– PID
– Simulation Matlab/Simulink
– Commande par ordinateur
– Transformee´ enZ
– Simulation Matlab/Simulink
plan Pourquoi ce cours ?
` ´ `Les systemes embarques s’adressent a de nombreux domaines d’application et
beaucoup de ces domaines traitent et controlentˆ des donnees´ issues du monde
physique :
´1. il est important de savoir comment les specialistes de ces domaines
` ´procedent pour pouvoir cooperer avec eux ;
2. les ordinateurs interagissant avec les systemes` physiques forment des
systemes` complexes qui acquierent,` par cette interaction, de nouvelles
´ ´proprietes : des changements mineurs du point de vue informatique peuvent
´ `avoir des consequences importantes du point de vue systeme ;
3. des langages et outils de simulation, d’origine automatique et traitement de
signal, deviennent par extension, des outils de programmation dont
l’importance croˆıt ; certains sont devenus des standards de fait (avionique,
automobile, . . .). Il est important de connaˆıtre et comprendre cette
« informatique venue d’ailleurs»
plan Modele` d’un systeme` physique
Une suspension de voiture
x Forces en presence´ :
........ ressort :−k(x−x )0
H
0
H amortisseur :−fxk f
a 00.... inertie :mx...
force externe, pesanteur,...
´ ´bilan : equation differentielle
00 0mx +fx +kx =u
normalisation :
00 0 2 ...
Voir
– Pourquoi ce cours ?
– Modele` d’un systeme` physique
´ ´– Resolution par transformee de Laplace
– Reponse´ en frequence´ , spectre
– Commande par retro action´
– PID
– Simulation Matlab/Simulink
– Commande par ordinateur
– Transformee´ enZ
– Simulation Matlab/Simulink
plan Pourquoi ce cours ?
` ´ `Les systemes embarques s’adressent a de nombreux domaines d’application et
beaucoup de ces domaines traitent et controlentˆ des donnees´ issues du monde
physique :
´1. il est important de savoir comment les specialistes de ces domaines
` ´procedent pour pouvoir cooperer avec eux ;
2. les ordinateurs interagissant avec les systemes` physiques forment des
systemes` complexes qui acquierent,` par cette interaction, de nouvelles
´ ´proprietes : des changements mineurs du point de vue informatique peuvent
´ `avoir des consequences importantes du point de vue systeme ;
3. des langages et outils de simulation, d’origine automatique et traitement de
signal, deviennent par extension, des outils de programmation dont
l’importance croˆıt ; certains sont devenus des standards de fait (avionique,
automobile, . . .). Il est important de connaˆıtre et comprendre cette
« informatique venue d’ailleurs»
plan Modele` d’un systeme` physique
Une suspension de voiture
x Forces en presence´ :
........ ressort :−k(x−x )0
H
0
H amortisseur :−fxk f
a 00.... inertie :mx...
force externe, pesanteur,...
´ ´bilan : equation differentielle
00 0mx +fx +kx =u
normalisation :
00 0 2 ...
Petit cours d’automatique Pourquoi ce cours ? esiquMoeld u’desysnme tyhpe R´utioesolrtnapnra´meefsroacplLadee eptceronepR´e´rfneess,ecneuq moamdnpeC-actionarr´etro Commande PID Simulation Matlab/Simulink Commande par ordinateur neee´mrofsTranZ Simulation Matlab/Simulink plan
Pourquoi ce cours ?
Les syste mes embarque´ s s’adressent a de nombreux domaines d’application et beaucoupdecesdomainestraitentetcontroˆlentdesdonne´esissuesdumonde physique :
1.ilestimportantdesavoircommentlesspe´cialistesdecesdomaines proce dentpourpouvoircoope´reraveceux;
2.lesordinateursinteragissantaveclessyste mesphysiquesformentdes syste mescomplexesquiacquie rent,parcetteinteraction,denouvelles proprie´t´es:deschangementsmineursdupointdevueinformatiquepeuvent avoirdesconsequencesimportantesdupointdevuesyste me; ´
3. des langages et outils de simulation, d’origine automatique et traitement de signal, deviennent par extension, des outils de programmation dont l’importancecroˆt;certainssontdevenusdesstandardsdefait(avionique, automobile,...).Ilestimportantdeconnaˆtreetcomprendrecette
plan
«informatique venue d’ailleurs»
Mode led’unsyste mephysique
Une suspension de voiture
.❍ k✟✟❍❛❛❍✟✟❍ .
f
bilan:e´quationdiff´erentielle
normalisation :
wpulsation propre zmmoernttissae plan
x
Fo ´ rces en presence : - ressort :−k(x−x0) - amortisseur :−f x0 - inertie :mx00 - force externe, pesanteur,...
mx00+f x0+kx=u
x00+ 2zwx0+w2x=w2u
Resolutionpartransform´eedeLaplace ´
propri´etes: ´
lin´earite´:
X(s) =L(x) =Z∞x(t)e−stdt 0
L(ax+by) =aL(x) +bL(y)
transformelese´quationsdiff´erentiellesenitnoasgl´qeaueuqirbe´s:
L(x0) =sL(x)−x(0)
transforme les exponentielles enfractions rationnelles: tn−λt1 Ln!e(=s+λ)n+1
plan
Application
x00+ 2zwx0+w2x=w2u⇒s2X+ 2zwsX+w2X=w2U
Recherche de solutions :
X=2+ 2wzw2s+w2U s
trouverlesracinesdude´nominateur(poˆles) d´ecomposerene´le´mentssimplesetinverserlatransform´ee.
Trois cas:)1=Uelle(´rpulsionneponseim
z2<1r:scxelempcoesinacse:uge´nouj z2= 1: racine double z2>1: racines re´ elles
plan
z2<1ra:neciexplomscugnjcoes:see´u
B X=s+zw+wiA√1−z2+s+zw−iw√1−z2
= Aww√2, B=2iw√w12−z2 −2i1−z2 z2t− we−zwteiw√1−−eiw√1−z2t x=√2 1−z2i x=√1w−z2e−zwtsin(wp1−z2t) re´gimeoscillant(suspensiontropmolle)! z2= 1: racine double
x=w2te−wt
z2>1:el´eslecirasrne =eww(z+√z − x√z2−(12−1)t−e−w(z−√z2−1)t) (suspension trop dure) ! plan
Re´ponseenfre´quence,spectre
A la me´moire de Joseph Fourier
u=e−iwt U=1 s+iw X=H1 s+iw X=A B1 H+s+iw B=H(−iw)
Lesexponentiellescomplexessontlesvecteurspropresdesope´rateurs; H(−iw)lasteprurlevaecteurproprepoersaosice´aevue−iwt .
plan
Exemple de la suspension
2 0 H=s2+ 2wwz0s+w20 H(−iw) =w20 −w2−2izw0w+w02
H(−iw)pmelexedalrfe´uqenced’excitationtuesfonetinccoonwElle se de´composeenamplitudeetphase:
w2 |H(−iw)|=0 p(w20−w2)2+ 4z2w02w2 ArgH(−iw) =wtgAcr220zw−0ww2
lespagessuivantesd´ecriventlespectred’amplitudeenfonctiondewpour w0= 1et des valeurs croissantes dez2= 0.5,1,2,4. plan
plan
Commandeparre´tro-action
Lesyste mea commander:rguemono-dimensionllenil,eae´n´siree X ▲a▲0▲ ▲ T❆❆❑▲ ❞X ❄mg → → → → m X00=k(X0−X) +m g
→ - pesanteur :m g →→ - tension du cable :k(X0−X) → - inertie :m X00
Projection sur l’axe vertical : Projection sur l’axe horizontal : my00=k(y0−y)−mg mx00=k(x0−x) 0 =kl−mg x00=lg(x0−x) g k=mlX=s2w+2w2X0 avecw=plgpulsation propre du pendule. aucun amortissement ! plan
Notion de feedback
Commanderenfonctiondel’e´cartentrepositiond´esire´ex0et obtenuex: be=x0−x x0✲+❣✻e✲C✲+❣+✲❄H✲xx=H(Ce+b) -x=H(C(x0−x) +b) (1 +H C)x=H(Cx0+b)
Calcul formel de ce diagramme !
plan
x=1+HCxHC01++bCHH
