PCSI Maths - PCSI 10/11 - Programme de colle de Mathématiques no12 ...

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PCSI Maths - PCSI 10/11 - Programme de colle de Mathématiques no12 ...

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o PCSI10/11-ProgrammedecolledeMathe´matiquesn12: du 3 au 7 janvier 2011.

Fonctionsnum´eriquesr´eelles 1.uiinntCounurest´lavretnielIde IR.noA.gle`´DﬁeinitbreC(I,IR). Parextension,unefonctionestcontinuesursondomainedede´ﬁnitionDsi elle est continue en chaque e´l´ementdeD. Th´eor`emedesvaleursinterme´diaireset corollaires : Propri´ete´deCauchy. L’image d’un intervalle par une application continue est un intervalle. L’image d’un segment par une application continue est un segment (admis). Fonctions lipschitziennes. Les fonctions lipschitziennes sont continues. 2. Limitesd’une fonctionmonotonesur un intervalle. The´ore`mefondamental(ditaussidelabijection):unefonctionstrictementmonotoneetcontinue sur un intervalleIednoitcejiunebﬁnitd´eIsur l’intervallef(I,d)icrpqoeunoltrae´tementeststric monotoneetcontinue.D´eﬁnitiond’hom´eomorphismesurunintervalle. 3. Relationsdedomination, dencrrapedne´e´opet d’cneleeq´vauiau voisinage d’un point ou de l’inﬁni : de´ﬁnitions,proprie´te´setope´rations.Rappeldelade´ﬁnitiondelad´eriv´eeenunpoint.Equivalentsdes fonctions usuelles en 0. Application au calcul de limites.

Fonctionsde´rivables. 1.De´ﬁnitiondelad´erivabilite´(-`adroite,-`agauche)d’unefonctionenunpoint.Fonctiond´erivablesur unintervalle,fonctiond´eriv´ee.D´eriv´eelogarithmique.De´riv´eeet´equivalenten0. 2.noitavirPpot´esri´ed´erdelaniop-.teuniecnesttentcouneninpo:ilppaenUd´onticaleabiver Op´erationssurlesd´erive´es.-Compositionselbavire´dsnoitcalipp’ad.evie´d´erdelaleuretva The´ore`medelabijectionpourdesfonctionsd´erivables:casd’existencedelad´erive´edelare´ciproque etvaleurdelade´riv´eelecas´ech´eant. Lienentreextremumlocaletde´riv´ee. 3.Th´eore`medeRolle-h´Tiorccasedeme`roeﬁnisssementsnisﬁs.seisntme-In´edasccorgelatie´ Lienentrelamonotonieetlesignedelad´eriv´eed’unefonctionde´rivablesurunintervalle. Poura < bdans IR, sifest une application continue sur [a, bd´[,iverleabr]sua, bee´vri´eadtlon,d[ 0 admet une limite ﬁnie`ena, alorsfelneviba´dreetsaetf(a) =`e´hte`rosetneced.Viaarme. 4.pue´irueo’drerssriv´eesdD´esr n∞ De´ﬁnition.ApplicationsdeclasseC,Csur un intervalle (nentier naturel). Formule de Leibniz. Fonctionsnum´eriquescomplexes. FonctionsdeIRdansIC.Fonctionspartiesre´elleetimaginaire. ∗n∞ Limite,continuite´,d´erivabilit´ed’ordren∈IN , fonction de classeCavecn∈IN, de classeC. In´egalite´desaccroissementsﬁnis. at∗ Cas det7→eaveca.daICns

Questions de cours. Touteslesd´eﬁnitionsettouslese´nonce´sdepropositionsetth´eor`emesdoiventˆetreconnus. Lesr´esultatssuivantsdoiventˆetreconnusavd´urleecartsnomenoit. 1.Th´eor`emedesvaleursinterm´ediaires. 2.Uneapplicationd´erivableenunpointestcontinueencepoint.Contre-exemplepourlar´eciproque. 3.D´erive´eduproduitdedeuxfonctionsde´rivablesenunpoint. 4.De´rivabilite´delar´eciproqued’uneapplicationstrictementmonotoneetde´rivablesurunintervalle. Valeurdelade´riv´eelecas´ech´eant. 5.The´ore`medeRolle.

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