Operateurs bornes sur les espaces de Hilbert

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Chapitre 4 Operateurs bornes sur les espaces de Hilbert 4.1 Adjoint d'une application lineaire continue entre espaces de Hilbert On commence avec la notion d'adjoint ; plusieurs des classes particulieres d'operateurs bornes seront definies a l'aide de cette notion. Proposition 4.1.1 Soient E et F des espaces de Hilbert et T ? L(E,F ). Alors il existe un unique T ? ? L(F,E) tel que, pour tout x ? E et tout y ? F , on ait : ?T (x), y? = ?x, T ?(y)?. On a de plus ?T ?? = ?T?. Preuve : Pour tout y ? F l'application x 7?? ?T (x), y? est lineaire et continue (de norme inferieure a ?T??y? d'apres l'inegalite de Cauchy-Schwarz). D'apres le theoreme de representation de Riesz, il existe donc un unique element note T ?(y) tel que ?T (x), y? = ?x, T ?(y)?. On verifie facilement que pour tous y, z ? F et ? scalaire, T ?(y) + ?T ?(z) verifie la propriete qui definit T ?(y + ?z). Par unicite, T ?(y) + ?T ?(z) = T ?(y + ?z), ce 19

espace de hilbert

operateurs

egalite ?t

definition de la norme operateur

?t ??

s?t ?

theoreme de representation de riesz

?? ?x ?

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Espace de Hilbert Théorème de représentation de Riesz

Chapitre 4

Op´erateursborn´essurlesespaces de Hilbert

4.1Adjointd’uneapplicationlin´eairecontinue entre espaces de Hilbert

Oncommenceaveclanotiond’adjoint;plusieursdesclassesparticulie`res d’ope´rateursborne´sserontde´ﬁnies`al’aidedecettenotion.

Proposition 4.1.1 Soient E et F des espaces de Hilbert et T ∈ L ( E F ) . Alors il existe un unique T ∗ ∈ L ( F E ) tel que, pour tout x ∈ E et tout y ∈ F , on ait :

On a de plus k T ∗ k = k T k .

h T ( x )  y i = h x T ∗ ( y ) i 

Preuve : Pour tout y ∈ F l’application x 7−→h T ( x )  y i estlin´eaireetcontinue (denormeinf´erieure`a k T kk y k d’apr`esl’in´egalite´deCauchy-Schwarz).D’apre`sle th´eore`med´entatideRiesz,ilexistedoncununique´el´ementnote´ T ∗ ( y ) e repres on tel que

h T ( x )  y i = h x T ∗ ( y ) i  On veriﬁe facilement que pour tous y z ∈ F et λ scalaire, T ∗ ( y ) + λT ∗ ( z )v´eriﬁe ´ laproprie´t´equid´eﬁnit T ∗ ( y + λz ).Parunicit´e, T ∗ ( y ) + λT ∗ ( z ) = T ∗ ( y + λz ), ce 19

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