ONDES ACOUSTIQUES DANS UN SOLIDE
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ONDES ACOUSTIQUES DANS UN SOLIDE. Page 1 sur 3 ONDES ACOUSTIQUES DANS UN SOLIDE. I. Étude d'une chaîne infinie d'oscillateurs couplés. 1°) Modélisation microscopique du problème et mise en équations. Le modèle que nous allons étudier peut décrire la propagation d'une onde sonore dans un solide. Le solide est constitué d'une chaîne comportant une infinité d'atomes, assimilés à des points matériels de même masse m, reliés par des ressorts identiques de longueur à vide a et de raideur K, et suscep- tibles de se déplacer sans frottement le long de l'axe Ox. Ces ressorts fictifs modélisent, dans l'approximation linéaire, les actions subies par les atomes lors- qu'ils se déplacent au voisinage de leurs position d'équilibre d'abscisses .éqnx na . C'est ce couplage entre les différents oscillateurs qui permet la propagation d'un signal (en l'occurrence ici une onde sonore). On repère les positions des atomes hors équilibre par leurs abscisses ( ) . ( )n nx t na t, où les déplacements ( )n t sont supposés faibles devant a. Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'atome de numéro xn en négligeant l'influence du poids devant les tensions des ressorts, s'écrit : 2 1 12 0 0 1 0 1 0 n x n n n n n n x n n x dm e F F dt k e k e En projection sur l'axe Ox on obtient 1 1(2 )n n
Voir
- tranche du barreau au repos
- module de young
- chaîne d'atomes
- modèle microscopique de la chaîne d'oscillateurs
- déformation
- onde acoustique
- atome de numéro xn
- module d'élasticité
ONDES ACOUSTIQUES DANS UN SOLIDE.
ONDES ACOUSTIQUES DANS UN SOLIDE.
I.Étude d’une chaîne infinie d’oscillateurs couplés.1°) Modélisation microscopique du problème et mise en équations. Le modèle que nous allons étudier peut décrire la propagation d’une onde sonore dans un solide. Le solide est constitué d’une chaîne comportant une infinité d’atomes, assimilés à des points matériels de même massem, reliés par des ressorts identiques de longueur à videaet de raideurK,et suscep-tibles de se déplacer sans frottement le long de l’axeOx. Ces ressorts fictifs modélisent, dans l’approximation linéaire, les actions subies par les atomes lors-qu’ils se déplacent au voisinage de leurs position d’équilibre d’abscisses. C’est ce couplage entre les différents oscillateurs qui permet la propagation d’un signal (en l’occurrence ici une onde sonore).
m m m x (t)(t)(t) n-1 nn+1 Onrepère les positions des atomes hors équilibre par leurs abscisses, où les déplacements sontsupposés faibles devanta. Leprincipe fondamental de la dynamique appliquéà l’atomede numéroxen négligeant l’influence n du poids devant les tensions des ressorts, s’écrit:
En projection sur l’axeOxon obtient 2°) L’approximation d’un milieu continu.-10 Dansun réseau cristallin, la distanceaentre deux atomes est typiquement de l’ordre de10 m, dis-tance très inférieure aux dimensions caractéristiques des phénomènes de propagation à étudier (qui sont plutôt de l’ordre de grandeur dummà quelques mètres). Cecisuggère de considérer la chaîne d’atomes comme un milieu continu, décrit par une fonction 2 , de classe, prenant les valeursaux points d’abscisses :
Alors,on peut écrire :. Un développement de Taylor à l’ordre 2 de la fonctionsur parrapport à la variablel’équation discrétisée du mouvements’écrit maintenant . On reconnaît l’équation de d’Alembert à une dimension.
Lacélérité cde ces ondes acoustiquess’écrit
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.
ONDES ACOUSTIQUES DANS UN SOLIDE. II.Notions élémentaires sur l’élasticité des solides.1°) Les modules d’élasticité. LesgrandeursK,metadéfinies précédemment sont associées à une vision moléculaire du so-lide: il s’agit d’une approche microscopique.à exprimer la célérité du son dans un solide en fonction de grandeurs mésoscopiques Cherchons caractérisant les propriétés mécaniques et élastiques des solides. Defaçon très générale, une force appliquée à un solide peut en modifier la forme. La réaction d’un matériau à une force de déformation donnée est caractérisée par unmodule d’élasticité, défini comme :
, où
Il découle de sa définition qu’un module d’élasticité est homogène à une pression, exprimé enusien pascal. Parfoisles modules d’élasticité d’un solide dépendent de l’orientation du matériau (par ex. le bois, selon qu’on est dans le sens des fibres ou dans le sens transversal). Nous ne tiendrons pas compte de ces complications, etne considérerons que des matériaux isotropes. 2°) Cas d’une contrainte normale; module de Young. Lemodule d’Young, notéE, mesurela résistance d’un solide à toute variation de sa longueur lorsqu’une force est appliquée perpendiculairement à une face.
, soit
.
Loi de Hooke. Lafigure ci-contre illustre la relation entre con-trainte et déformation de traction pour la plupart des solides. Sous la limite de proportionnalité, qui correspond en général à une déformation de 1%, la contrainte est directement proportionnelle à la déformation, ce qui signifie queE est une constante: dans cette région, le matériau obéit à laloi de Hooke: . Pourvuque la déformation se situe sous la limite d’élasticité, le matériau reprend sa forme et ses di-mensions initiales lorsqu’on supprime la force.Au-delà de lalimite d’élasticité, le matériau garde une déformation permanente une fois la contrainte supprimée. Pour des contraintes supérieures à la limite d’élasticité, le matériau est dans un état d’écoulement plastique, ce qui signifie qu’il continue à s’allongermême si la contrainte augmente peu. Ensuitela courbe redescend vers la limite de ruptureparce que la contrainte est calculée à partir de l’aire initiale de la section transversale, alors que l’échantillon se rétrécit (et doncS). Le point de rupturepeut être atteint dès que la déformation est de l’ordre de10 %.
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ONDES ACOUSTIQUES DANS UN SOLIDE. III: Propagation d’une onde acoustique dans un barreau solide.1°) Interprétation microscopique du module d’Young.On reprend le modèle microscopique de la chaîne d’oscillateurs couplés duparagrapheI, pour laquelle on a introduit les grandeursK,meta. L’analyse dimensionnelle montreque le module d’YoungEdu matériau est homogène à
Onécrit .ou sous la forme, oùµest la masse volumique du solide. 0 2°) Mise en équation d’une onde acoustique dans une tige solide. Considéronsune onde plane se propageant dans un barreau cylindrique, normalement à la directionxdes génératrices. Soitun élément de barreau compris entre deux sections normales (sectionS) aux abscissesx etx + dxau repos et soit (x,t)le déplacement acoustique lors du passage de l’onde. Soitµla masse volumique du barreau, supposée constante. 0 L’approximation acoustique.Le déplacement des faces du barreau est supposé très petit devant la longueur d’onde duphéno-mène étudié, de sorte qu’on négligera dans les calculs tout infiniment petit d’ordre supérieur strict à un. Ce cadre définitl’approximation acoustique. Longueur de l’élément de barreaulors du passage de l’onde dans l’approximation acoustique : .
Variationrelative de longueur de cet élément. Soit. Le principe fondamental de la dynamique à l’élément de barreau, en projection surOxs’écrit: , avec.
Dans le cadre de l’approximation acoustique onobtient :
Le module d’Young du matériau s’écrit
donne alors Enéliminant
tielles vérifiée par(x,t):
.
. Dans le domaine linéaire, la loi de Hooke
, avecEsupposé constant.
entre les deux équations précédentes, on obtientl’équation aux dérivées par-
O.d.g. : Pourun barreau en acier :
, avec
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.
. On obtient
.
