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OBJECTIFS DE FORMATION ET PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES I OBJECTIFS ...
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´ ´ CLASSES SUPERIEURES PCSI ET SPECIALES PC
´ OBJECTIFS DE FORMATION ET PROGRAMME DE MATHEMATIQUES
I OBJECTIFS DE FORMATION
1)Objectifsge´ne´rauxdelaformation Danslafili`erePC,lesmath´ematiquesconstituentconjointementunedisciplinescientifique`apartentie`re, d´eloppantdesconcepts,desr´esultats,desme´thodesetuned´emarchesp´ecifiques,etunedisciplinefournissant ev desconnaissancesetdesm´ethodesn´ecessairesa`laphysique,a`l’informatique,`alachimieetauxsciences industrielles. Lare´flexionsurlesconceptsetlesm´ethodes,lapratiqueduraisonnementetdelad´emarchemathe´matique consituentunobjectifmajeur.Lese´tudiantsdoiventconnaˆıtrelesde´finitionsetles´enonce´sdesthe´ore`mes figurantauprogramme,savoiranalyserlaporte´edeshypothe`sesetdesr´esultats,etsavoirmobiliserleurs connaissancerl’´etudedeprobl`emes.Lesd´emonstrationsquisontutiles`aunebonnecompre´hensiondu s pou courssontauprogramme.Enrevanche,certainsr´esultatspuissantsutilesauxsciencesdel’inge´nieursontadmis. a)Objectifs de la formation Laformationestconc¸ueenfonctiondequatreobjectifsessentiels. -D´evelopperconjointementl’intuition,l’imagination,leraisonnementetlarigueur. -Promouvoirlareflexionpersonnelledese´tudiantssurlesproble`mesetlesphe´nom`enesmath´ematiques,surla ´ porte´edesconcepts,deshypoth`eses,desre´sultatsetdesm´ethodes,aumoyend’exemplesetdecontreexemples; de´velopperainsiuneattitudedequestionnementetderecherche. -Exploitertoutelarichessedelademarchemathe´matique:analyserunproble`me,expe´rimentersurdes ´ exemples,formuleruneconjecture,´elaboreretmettreenœuvredesconceptsetdesre´sultatsthe´oriques,r´ediger unesolutionrigoureuse,controˆlerlesre´sultatsobtenusete´valuerlapertinencedesconceptsetdesre´sultatsau regardduproble`mepose´,sontdes´ele´mentsindissociablesdecettede´marche;valoriserainsil’interactionentre d’unepartl’´etudedephe´nomenesetdeprobl`emesmath´ematiques,etd’autrepartl’e´laborationetlamiseen ` œuvredesconceptsth´eoriques,lesphasesd’abstractionetdemiseenth´eorieinteragissantdoncconstamment avec celles de passage aux exemples et aux applications. -Privile´gierlesprobl`emesmathe´matiquessusceptiblesded´evelopperlar´eflexionpersonnelledes´etudiantset lescapacit´esdesynthe`se.Enparticulier,onnesauraitenaucuncasselimiter`al’´etudedeprobl`emesdontles ´enonc´essontferm´esetd’exercicesmettantenœuvredestechniquesbienre´pertori´ees.Ilestn´ecessaired’entraıˆner lese´tudiantsaseposereux–meˆmesdesquestions,c’est–`a–dire`aprendreencompteuneproble´matique ` mathematique. ´ b)Unite de la formation scientifique ´ Ilestimportantdemettreenvaleurl’interactionentrelesdiffe´rentespartiesduprogrammed’unemeˆme discipline,tantauniveauducoursquedesth`emesdestravauxpropos´esauxe´tudiants.Pluslargement, l’enseignementd’unedisciplinescientifiqueest`areliera`celuidesautresdisciplinessousdeuxaspectsprincipaux: organisationconcerte´edesactivit´esd’enseignementd’unemˆemeclasse;´etudedequestionsmettantenœuvre desinteractionsentreleschampsdeconnaissances(math´ematiquesetphysique,math´ematiquesetinformatique, mathe´matiquesetchimie. . .). Lacoop´erationdesenseignantsd’unemeˆmeclasseoud’unemeˆmedisciplineet,pluslargement,cellede l’ensembledesenseignantsd’uncursusdonn´e,ycontribuedefa¸conefficace,notammentdanslecadredes travauxd’initiativepersonnelleencadr´es. Ilimporteaussiquelecontenucultureldesmathe´matiquesnesoitpassacrifi´fitdelaseuletechnicit´e. e au pro Enparticulier,lestextesetlesre´fe´renceshistoriquespermettentd’analyserl’interactionentrelesprobl`emes mathe´matiquesetlaconstructiondesconcepts,mettentene´videnceleroˆlecentraljou´eparlequestionnement scientifiquepourlede´veloppementth´eoriqueetmontrentenoutrequelessciences,etlesmathe´matiquesen particulier,sontenperpe´tuelle´evolutionetqueledogmatismen’estpaslare´fe´renceenlamati`ere.
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PCSI 2) Architecture et contenus des programmes a)Intentions majeures Lescontenussontorganis´esautourdequatreintentionsmajeures. -R´ealiserune´quilibreglobalentrel’alg`ebre,l’analyseetlag´eom´etrie.Ilvadesoi,d’ailleurs,quecettese´paration traditionnellen’estqu’unecommodite´der´edactionetnedoitpasfaireoublierlesinteractionsnombreuseset ´etroitesentrecestroisgrandsdomainesdesmathe´matiques.Danscetteintention,lesprogrammessontpr´esente´s selondeuxgrandesparties:analyseetg´eom´etriediff´erentielle,alg`ebreetg´eome´trie. -Organiserlesprogrammesautourdequelquesnotionsessentielles,ende´gageantleside´esmajeuresetleur port´ee,enfournissantdesoutilspuissantsetefficaces,ene´vitanttoutetechnicite´gratuite,etene´cartantles notionsquinepourraienteˆtretraite´esquedefa¸consuperficielle. -Mettreenvaleurlecaract`ereplurivalentdesconceptsmath´ematiques.Cetteplurivalences’inscritdansun doublemouvement:d’unepart,l’´etuded’undomaineparticuliervientenrichirleconceptge´ne´ral,grace ˆ aulangageetauxm´ethodespropresa`cedomaine;d’autrepart,leconceptge´ne´ralpermetletransfertdes connaissancesd’undomained’application`aunautre.C’estdanscetteperspective,et`al’oppos´edetout dogmatisme,quelesstructuresconstituentunoutilpourunemeilleurecompre´hensionetunemeilleurepr´ecision delapense´eetfournissentdesm´ethodespourl’e´tudedesprobl`emesmathe´matiques. -Donnerunrˆoletr`esimportantauxtravauxpratiques,dontlafonctionestdouble:indiquerlechampdes proble`mesetphe´nom`enesmath´ematiques`a´etudierenrelationaveclesconceptsfigurantauprogramm´ci e ; pre ser lesme´thodesetlestechniquesusuellesexigiblesdes´etudiants.Enrevanche,lestravauxpratiquesnedoiventpas conduire`adesde´passementsdeprogrammeprenantlaformed’uneanthologied’exemplesdontlaconnaissance seraitexigibledese´tudiants. b)Secteur de l’analyse et de ses interventions Danscesecteur,leprogrammeestcentr´eautourdesconceptsfondamentauxdefonction,quipermetdemod´eliser lecomportementdemod`elescontinus,etdesuite(oude´ie),quipermetdemode´liserlecomportementdes ser phe´nome`nesdiscrets.Lesinteractionsentrelecontinuetlediscretsontmisesenvaleur,notammentenseconde annee. ´ Leprogrammed’analysecombinel’´etudedesproble`mesqualitatifsaveccelledeprobl`emesquantitatifs;il de´veloppeconjointementl’´etudeducomportementglobaldesuiteoudefonctionaveccelledeleurcomportement localouasymptotique.Pourl’´etudedessolutionsdes´equations,ilcombinelesproble`mesd’existenceetd’unicite´, lesm´ethodesdecalculexact,lesme´thodesd’approximationetlesalgorithmesdemiseenœuvre.Pourl’ensemble de l’analyse, il met l’accent sur les techniques de majoration. Enpremi`ere´,lamaˆıtriseducalculdiff´erentieletinte´grala`unevariableetdesesinterventionseng´eom´etrie annee diff´erentielleplaneconstitueunobjectifessentiel. Ensecondeann´ee,larepre´sentationdesfonctions,notammentpardess´eries(s´eriesenti`eres,se´riesdeFourier) etpardesinte´grales(notionssurlestransformationsdeFourieretdeLaplaceetsurlesinte´graleseul´eriennes), l’approximationdesfonctions,l’´etudedes´equationsdiffe´rentielles(notammentdessyst`emesautonomes,en relationaveclag´eome´triediffe´rentielle),l’e´tudedesfonctionsdeplusieursvariables(´egalementeninteraction e´troiteaveclage´ome´triediffe´rentielle)tiennentuneplacemajeure. c)rdeuctSesedteerbe`gla’leonsentitervesin Danscesecteur,leprogrammeestcentre´autourdesconceptsfondamentauxdel’alge`breline´aire(pointsdevue g´eom´etriqueetmatriciel),tandisquel’e´tudedesanneauxetdescorpsainsiquel’´etudege´ne´raledesgroupesen ont´ete´e´cart´ees.Leprogrammemetenœuvrelesme´thodesdel’alge`breline´airepourlar´esolutiondeproble`mes issus,nonseulementdesautressecteursdel’alge`bre,maisaussidel’analyseetdelage´´tie. ome r Enpremi`ereanne´e,leprogrammed’alge`breetge´ome´trieestorganis´eautourdel’alg`ebrelin´eaire(espaces vectoriels,applicationslin´eaires,alg`ebres,calculmatriciel,espacesvectorielseuclidiens,automorphismes orthogonauxduplanetdel’espace)etdesesinterventionsenalge`bre,enanalyseeteng´eom´etrieaffineet euclidienne du plan et de l’espace. Ensecondeanne´e,leprogrammeestorganise´autourdel’alg`ebreline´aire(r´eductiondesendomorphismesd’un espacevectorieletdesendomorphismessyme´triquesd’unespacevectorieleuclidien,r´eductiondesmatrices). d)te´meeiraledoe´grvtetienestdinesnosteurSec Unevisiong´eom´etriquedesproble`mesimpr´egnel’ensembleduprogrammedemath´ematiquescarlesme´thodes delag´eom´etriejouentunrˆolecapitalenalg`ebre,enanalyseetdansleursdomainesd’intervention:apportsdu langageg´eom´etriqueetdesmodesderepre´sentation.
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PCSI e)Articulation avec la physique et la chimie Enrelatione´troiteaveclesconceptspropresa`laphysiqueet`alachimie(m´ecanique,´electrocine´tique, e´lectronique,automatique,optique,cin´etiquechimique),leprogrammevaloriselesinterpr´etationscine´matiques etdynamiquesdesconceptsdel’analyseetdelag´eom´etrie,ainsiqueleursinterpre´tationsentermesdesignaux continusoudiscrets(vitesseetacc´el´eration,trajectoiresetlignesdeniveau,´equationsdiffe´rentiellesmod´elisant l’e´volutiondesyst`emesm´ecaniques,physiquesouchimiques).Cesinterpr´etations,conjointementavecles interpr´etationsgraphiquesetg´eom´etriques,viennentenretoure´clairerlesconceptsfondamentauxdel’analyse. f)loˆRs´eealgoedelapeneirhtimuq Enrelationavecleprogrammed’informatique,l’ensembleduprogrammedemathe´matiquesvaloriselade´marche algorithmique;ilinte´grelaconstructionetlamiseenformed’algorithmeset,surdesexemples,lacomparaison deleursperformances.Enmathe´matiques,aucuneconnaissancesurlathe´oriedesalgorithmesn’estexigible des ´t diants. e u Lesalgorithmesassociesauxnotionse´tudie´esdansleprogrammedemath´ematiquesenfontpartie,qu’ilssoient ´ mentionn´esdansletextemeˆmeduprogrammeoudanslestravauxpratiques.Enoutre,denombreuxtravaux pratiquesdonnentlieua`l’exploitationdulogicieldecalculsymboliqueetformel´etudi´edansleprogramme d’informatique. g)Emploi des calculatrices Cetemploiestd´efiniparlare´glementationenvigueur.Les´etudiantsdoiventsavoirutiliserunecalculatrice programmabledanslessituationslie´esauprogrammedelaclasseetdeladisciplineconside´r´ees.Cetemploi combine les capacites suivantes, qui constituent un savoir–faire de base et sont seules exigibles : ´ -savoireffectuerdesop´erationsarithme´tiquessurlesnombresr´eelsetsavoircomparerdeuxnombresre´els; -savoirutiliserlestouchesdesfonctionsquifigurentauprogrammedelaclasseconsid´er´eeetsavoirprogrammer le calcul des valeurs d’une fonction d’une ou plusieurs variables permis par ces touches ; -savoirprogrammeruneinstructions´equentielle,uneinstructionconditionnelleetuneinstructionit´erative comportante´ventuellementuntestd’arreˆt. 3) Conception et organisation de la formation a)Organisation du travail de la classe Onnesauraitseborner`al’expos´e,siparfaitsoit–il,deth´eoriese´ventuellementsuiviesd’applications.Ilconvient aucontrairedecentrerl’enseignementautourdel’e´tudedeph´enome`nesetdeprobl`emesmathe´matiques,les conceptsetlesde´veloppementsthe´oriquese´tantauservicedecettee´tude.Enparticulier,ilestessentiel quel’approfondissementthe´oriquenesoitcoup´enidesprobl´ematiquesquilesous–tendent,nidessecteurs d’interventionquilemettentenjeu.Deuxobjectifsessentielssont`apoursuivre: -Promouvoirl’acquisitiondeme´thodesetentraıˆnerlese´tudiantsa`exploitertoutelarichessedelade´marche math´ematique;laclasseestdoncunlieuded´ecouverte,d’exploitationdeproble´matiques,unlieuder´eflexion etded´ebatssurlesd´emarchessuivies,d’analysedeshypothe`sesd’unthe´ore`meetdelaporte´edesconcepts misenjeuetdesre´sultatsobtenus.Elleestaussiunlieud’e´laborationdesynth`esesayantpourtripleobjectif dede´gagerclairementlesid´eesetme´thodesessentielles,depre´ciserleurport´eepourlar´esolutiondeproble`mes et,inversement,d’analyserlesprincipalesme´thodesdontondisposepoure´tudieruntypedonn´edeprobl`eme. Danscetteperspective,lesenseignementscombinentdefac¸onorganiquelaformulationetl’analysedeproblemes, ` l’e´laborationdeconcepts,lapr´esentation,lade´monstrationetlamiseenœuvredere´sultats,ainsiquelamise envaleurdeme´thodes. -D´evelopperlescapacit´esdecommunication.Lapertinencedesindicationse´critesetoralesdonn´eesparle professeuretlaqualite´destructurationdes´echangesinterpersonnelsjouenticiunrˆoleessentiel:qualite´s d’e´couteetd’expressionorale(formulationd’unequestion,d’unere´ponse,d’uneide´e. . .uterteitalqu),ecelsd´e d’expression´ecrite(maˆıtrisedutableau,prisedenotes,analysed’une´nonc´e,miseaupointdelar´edactiond’un ´enonc´eoud’unraisonnement. . .yoneedmsreisdsvi:nonfi´esemenseulmmocaL.)ioaticunselitinu,auettlleab dontlamaˆıtriseestune´l´ementimportant,maisaussilere´troprojecteuretl’ordinateurconnect´e`aundispositif deprojectionapproprie´.
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