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OBJECTIFS DE FORMATION ET PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES I OBJECTIFS ...
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` ´ CLASSE DE DEUXIEME ANNEE MP
´ OBJECTIFS DE FORMATION ET PROGRAMME DE MATHEMATIQUES
I OBJECTIFS DE FORMATION
1)Objectifsg´ene´rauxdelaformation Danslafili`ereMath´ematiquesetPhysique,lesmathe´matiquesconstituentconjointementunediscipline scientifiquea`partentie`re,de´veloppantdesconcepts,desre´sultats,desm´ethodesetuned´emarchespe´cifiques, etunedisciplinefournissantdesconnaissancesetdesme´thodesne´cessairesa`laphysique,`al’informatique,a`la chimie et aux sciences industrielles. Lare´flexionsurlesconceptsetlesme´thodes,lapratiqueduraisonnementetdelade´marchemathe´matique constituentunobjectifmajeur.Les´etudiantsdoiventconnaıˆtrelesd´efinitions,lese´nonc´esetlesde´monstrations desthe´ore`mesfigurantauprogramme,savoiranalyserlaport´eedeshypoth`esesetdesr´esultats,etsavoir mobiliserleursconnaissancespourl’e´tudedeproble`mes.Enrevanche,certainsre´sultatspuissants,maisdontla de´monstrationesthorsdeport´eeauniveaudesclassespre´paratoires,sontadmis. a)Objectifs de la formation Laformationestcon¸cueenfonctiondequatreobjectifsessentiels. -De´velopperconjointementl’intuition,l’imagination,leraisonnementetlarigueur. -Promouvoirlar´eflexionpersonnelledese´tudiantssurlesproble`mesetlesph´enome`nesmath´ematiques,surla porte´edesconcepts,deshypothe`ses,desre´sultatsetdesm´ethodes,aumoyend’exemplesetdecontre-exemples; de´velopperainsiuneattitudedequestionnementetderecherche. -Exploitertoutelarichessedelade´marchemathe´matique:analyserunproble`me,expe´rimentersurdesexemples, formuleruneconjecture,´elaboreretmettreenœuvredesconceptsetdesr´esultatsth´eoriques,r´edigerunesolution rigoureuse,controˆlerlesr´esultatsobtenuset´evaluerlapertinencedesconceptsetdesre´sultatsauregarddu probl`emepos´e,sontdese´le´mentsindissociablesdecetted´emarche;valoriserainsil’interactionentred’unepart l’´etudedeph´enomenesetdeproble`mesmath´ematiques,etd’autrepartl’e´laborationetlamiseenœuvredes ` conceptsth´eoriques,lesphasesd’abstractionetdemiseenth´eorieinteragissantdoncconstammentaveccelles de passage aux exemples et aux applications. -Privil´egierlesproble`mesmathe´matiquessusceptiblesdede´velopperlar´eflexionpersonnelledes´etudiantset lescapacit´esdesynthe`se.Enparticulier,onnesauraitenaucuncasselimiter`al’´etudedeproble`mesdontles e´nonc´essontferm´esetd’exercicesmettantenœuvredestechniquesbienre´pertori´ees.Ilestn´ecessaired’entraıˆner ` lese´tudiantsaseposereux–meˆmesdesquestions,c’est–a`–dire`aprendreencompteuneprobl´ematique math´ematique;l’effortdesynth`esedoitconstituerl’aboutissementdecetted´emarche.Lestravauxd’initiative personnelleencadr´es(TIPE)permettentderenforcercetteattitude,essentiellepourlaformationscientifique, laquelle est par nature d’abord un questionnement. b)´tinUeitnfiiuqeedelaformationsc Ilestimportantdemettreenvaleurl’interactionentrelesdiffe´rentespartiesduprogrammed’ˆ une meme discipline,tantauniveauducoursquedesth`emesdestravauxpropose´saux´etudiants.Pluslargement, l’enseignementd’unedisciplinescientifiqueesta`relier`aceluidesautresdisciplinessousdeuxaspectsprincipaux: organisationconcerte´edesactivite´sd’enseignementd’ˆclasse;e´tudedequestionsmettantenœuvre une meme desinteractionsentreleschampsdeconnaissances(mathe´matiquesetphysique,math´ematiquesetinformatique, mathe´matiquesetsciencesindustrielles. . .). Lacoope´rationdesenseignantsd’unemˆemeclasseoud’unemˆemedisciplineet,pluslargement,cellede l’ensembledesenseignantsd’uncursusdonne´,ycontribuedefa¸conefficace,notammentdanslecadredes travauxd’initiativepersonnelleencadre´s. Ilimporteaussiquelecontenucultureldesmathe´matiquesnesoitpassacrifi´profitdelaseuletechnicit´e. e au Enparticulier,lestextesetlesr´ef´erenceshistoriquespermettentd’analyserl’interactionentrelesprobl`emes math´ematiquesetlaconstructiondesconcepts,mettentene´videncelerˆolecentraljou´eparlequestionnement scientifiquepourlede´veloppementth´eoriqueetmontrentenoutrequelessciences,etlesmath´ematiquesen particulier,sontenperp´etuellee´volutionetqueledogmatismen’estpaslar´efe´renceenlamatie`re.
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MP 2) Architecture et contenus des programmes a)Intentions majeures Lescontenussontorganis´esautourdetroisintentionsmajeures. -Organiserlesprogrammesautourdequelquesnotionsessentielles,ende´gageantleside´esmajeuresetleur p en ev ort´ee,enfournissantdesoutilspuissantsetefficaces,´itanttoutetechnicite´gratuite,eten´ecartantles notionsquinepourraientˆetretrait´eesquedefa¸consuperficielle. -Donnerunrˆoletre`simportantalar´esolutiondeproble`mesetd’exercicesd’application,enparticulier ` enmettantenœuvrel’outilinformatique.Lebutestd’indiquerlechampdesprobl`emesetphe´nom`enes math´ematiquesa`e´tudierenrelationaveclesconceptsfigurantauprogrammeetdepr´eciserlesm´ethodesetles techniquesusuellesexigiblesdes´etudiants.Enrevanche,ces´etudesdeproble`mesetd’exercicesnedoiventpas conduirea`desde´passementsdeprogrammeprenantlaformed’uneanthologied’exemplesdontlaconnaissance seraitexigibledese´tudiants. -Re´aliserun´equilibreglobalentrel’alge`bre,l’analyseetlag´eome´trie.Ilvadesoi,d’ailleurs,quecettese´paration traditionnellen’estqu’unecommodite´dere´dactionetnedoitpasfaireoublierlesinteractionsnombreuseset e´troitesentrecestroisgrandsdomainesdesmath´ematiques.Danscetteintention,lesprogrammessontpre´sent´es selondeuxgrandesparties:analyseetge´ome´triediffe´rentielle,alge`breetge´ome´trie,maisleplanduprogramme n’est pas un plan de cours. C’estenfonctiondesobjectifspre´ce´dentsquelesprogrammessontconc¸usetquel’horairehebdomadairedoit ˆetreg´er´e.DanslesclassesMPSIetMP,ilestde12heures(10heuresdecourset2heuresdetravauxdirige´s). Pourvaloriserlesconceptsessentielsetlesprincipalesm´ethodes(comprenantlesexemplesetcontre-exemples quiillustrentleurport´eeetleursconditionsdevalidit´e),ilconvientdeconsacrer`aleure´tudeenvironauplus8 heuresdecours.Letempsrestantest`aconsacrera`l’e´tudedeproble`mesmathe´matiquesdedifficult´evari´ee;`a cete´gard,toutetechnicit´egratuiteest`´vite a e r. b)Secteur de l’analyse et de ses interventions Danscesecteur,leprogrammeestorganis´eautourdesconceptsfondamentauxdefonction,quipermetde mode´liserlecomportementdesph´enome`nescontinus,etdesuite(oudes´erie),quipermetdemode´liserle comportementdesphe´nom`enesdiscrets.Lesinteractionsentrelecontinuetlediscretsontmisesenvaleur, notamment en d ´ secon e annee. Leprogrammed’analysecombinel’e´tudedesprobl`emesqualitatifsaveccelledesproble`mesquantitatifs; ild´eveloppeconjointementl’´etudeducomportementglobaldessuitesetdesfonctionsaveccelledeleur comportementlocalouasymptotique.Pourl’e´tudedessolutionsdes´equations,ilcombinelesproble`mes d’existenceetd’unicite´,lesme´thodesdecalculexact,lesm´ethodesd’approximationetlesalgorithmesdemise en œuvre. Pour l’ensemble de l’analyse, il met l’accent sur les techniques de majoration. Enpremie`reann´ee,lamaˆıtriseducalculdiffe´rentieletint´egral`aunevariableetdesesinterventionsenge´ome´trie diff´erentielleplaneconstitueunobjectifessentiel. Ensecondeann´ee,leprogrammeintroduitleconceptd’espacevectorielnorme´etd’applicationline´airecontinue, afindefourniruncadrecohe´rentpourl’e´tudedessuites,desse´riesetdesfonctionsetcelledessuitesetdesse´ries defonctions.L’int´egration,larepre´sentationdesfonctions,notammentpardesse´ries(se´riesenti`eres,se´riesde Fourier)etpardesint´egralesd´ependantd’unparame`tre,l’approximationdesfonctions,l’´etudedese´quations diffe´rentielles(notammentdessyst`emeslin´eaires),l’´etudedesfonctionsdeplusieursvariables(eninteraction e´troiteaveclag´eome´triediff´erentielle)tiennentuneplacemajeure. c)reevistnedesertensntioSebg`all’deurteec Danscesecteur,leprogrammeestorganise´autourdesconceptsfondamentauxdel’alge`brelineaire(pointsde ´ vuege´ome´triqueetmatriciel),tandisquel’e´tudesyste´matiquedesanneauxetdescorpsenae´te´e´carte´e.Il metenœuvrelesme´thodesdel’alg`ebrelin´eairepourlar´esolutiondeprobl`emesissus,nonseulementdesautres secteursdel’alge`bre,maisaussidel’analyseetdelag´eometrie.Ilmetenvaleurl’importanceduconceptde ´ groupepourlesme´thodesdelag´eom´etrie. Enpremie`reann´ee,leprogrammed’alg`ebreetg´eom´etriecombinel’´etudedel’alg`ebrelin´eaire(espacesvectoriels, applicationsline´aires,alg`ebres,dimension,rang,calculmatriciel,espacesvectorielseuclidiens,automorphismes orthogonaux)etdesesinterventionsenalg`ebre,enanalyseeteng´eom´etrieaffineeteuclidienne;ilcomporte utrel’´tudedel’arithm´etique´ele´mentaireetdespolynoˆmesa`uneinde´termin´ee. en o e Ensecondeann´ee,leprogrammede´veloppedenouveauxconcepts(dualite´,polynoˆmesd’endomorphismes, valeurspropresetsous-espacespropres,r´eductiondesendomorphismesd’unespacevectorieletdes
MP3 endomorphismessym´etriquesd’unespacevectorieleuclidien,re´ductiondesmatrices).Ilcomporteenoutre quelqul´ementsd’alg`ebreg´en´erale(arithm´etique,polynoˆmes). es comp d)´moe´galdteeirteSdeurteecsesesintervention Unevisiong´eome´triquedesproble`mesimpre´gnel’ensembleduprogrammedemath´ematiquescarlesme´thodesde lag´eom´etrieetlesapportsdesonlangage(figures,repre´sentationsgraphiques,interpr´etationsg´eome´triques. . .) jouentunrˆolecapitalenalge`bre,enanalyseetdansleursdomainesd’intervention. e)Articulation avec la physique, la chimie et les sciences industrielles Enrelation´etroiteaveclesconceptspropresa`laphysique,a`lachimieetauxsciencesindustrielles,leprogramme valoriselesinterpr´etationsdesconceptsdel’analyse,del’alg`ebrelin´eaireetdelag´eom´etrieentermesde parame`tresmode´lisantl’´etatetl’e´volutiondesyst`emesme´caniques,physiquesouchimiques(mouvement,vitesse etacc´el´eration,trajectoiresetlignesdeniveau,signauxcontinusoudiscrets,mesuredesgrandeursme´caniques ou physiques. . .e´moe´gt,seuqirtntneenviurtoreenerpr´etaeclesinthpqieuesitnogsarCe).ntsinoitva,srpreate´ e´clairerlesconceptsfondamentauxdel’analyseetdel’alg`ebrelin´eaire. 3) Conception et organisation de la formation a)Organisation du travail de la classe Ilconvientdecentrerl’enseignementautourdel’e´tudedeph´enome`nesetdeprobl`emesmathe´matiques.En particulier,ilestessentielquel’approfondissementthe´oriquenesoitcoup´enidesprobl´ematiquesquilesous– tendent,nidessecteursd’interventionquilemettentenjeu.Deuxobjectifsessentielssont`apoursuivre: -Promouvoirl’acquisitiondem´ethodesetentraıˆnerlese´tudiantsa`exploitertoutelarichessedelad´emarche math´ematique;laclasseestdoncunlieudede´couverteetd’exploitationdeprobl´ematiques,unlieud’analyse desph´enome`nesetdesconcepts,unlieudere´flexionetded´ebatssurl’architecturedescontenus,lesd´emarches suivies,leshypothe`sesd’unth´eor`eme,laport´eedesconceptsmisenjeuetdesr´esultatsobtenus.Elleestaussiun lieud’´elaborationdesynth`esesayantpourtripleobjectifdede´gagerclairementlesid´eesetm´ethodesessentielles, depre´ciserleurporte´epourlare´solutiondeproble`meset,inversement,d’identifierlesprincipalesme´thodesdont ondisposepour´etudieruntypedonne´deproble`me.Danscetteperspective,lesenseignementscombinentla formulationetl’analysedeproble`mes,l’e´laborationdeconcepts,lapr´esentation,lad´emonstrationetlamiseen œuvredere´sultats,ainsiquelamiseenvaleurdeme´thodes. -De´velopperlescapacit´esdecommunication.Lapertinencedesindications´ecritesetoralesdonne´esparle professeuretlaqualite´destructurationdes´echangesjouenticiunrˆoleessentiel:qualite´sd’e´couteetd’expression orale(formulationd’unequestion,d’uner´d’eid´ee. . .´noisseretircedelectureetd’exp)q,auil´tse eponse, un (maıˆtrisedutableau,prisedenotes,analysed’un´enonc´e,miseaupointdelar´edactiond’un´enonc´eoud’un raisonnement. . .odtnalamıˆrtsieL.)onutcatimuniacomsnidomeydeselisieunsnos:´eifirsve,uaelbateltnemel estun´el´ementimportant,maisaussiler´etroprojecteur,l’ordinateurconnect´e`aunvideoprojecteur. b)strnOaidutest´idseaenlingnaasovterrdlupoani Lestravauxeffectu´esendehorsdutempsd’enseignement,`alamaisonouaulyc´ee,ontuneimportancecapitale; leurs fonctions sont diversifi´ ees : -L’´etudeducoursjoueunroˆlecentral.Sonobjectifesttriple;connaˆıtrelesconceptsetlesre´sultatsessentiels, qu´erirlamaıˆtrisedesme´thodesd’´etudedesprobl`mes,savoiranalyserlaport´eedeshypothe`sesetdesre´sultats, ac e lesde´marchesetlestechniquesderaisonnementmisesenjeudanslesdemonstrations.L’´etudeducoursestdonc ´ indissociable de celle des problemes. ` -Lar´esolutiond’exercicesd’entraıˆnement,combin´eeavecl’e´tudeducours,apourfonctiond’affermirles connaissancesdebasedes´etudiantsetd’´evaluerleurcapacit´e`alesmettreenœuvresurdesexemplessimples. Lar´esolutiondetelsexercicesn’estdoncpasunobjectifensoi,ettoutexc`esdetechnicite´doitˆetree´vit´e.La maˆıtrisedecetypedequestionsestuneexigencevalablepourl’ensembledes´etudiants. -L’e´tudedequestionspluscomplexes,sousformedepr´eparationd’activite´senclasseoudeprobl`emesa`r´esoudre et`ar´ediger,alimenteletravailderecherche,individuelouene´quipe,etpermetauxe´tudiantsd’´evaluerleur capacit´e`amobiliserleursc¸,lesth`emesd’e´tude onnaissancesdefaconcoordonn´ee.Auseind’unemeˆmeclasse peuventeˆtrediversifie´senfonctionduprojetdeformationdes´etudiants. -Lestravauxindividuelsder´edactionentempslibre(solutiond’unproble`me,miseaupointd’exercicese´tudie´s enclasse,rapportdesynthe`sesurunth`emed’´etude,analysecritiqued’untexte. . .vi)natseent`llemntieesse de´velopperlescapacit´esd’expressione´criteetdemiseaupointd’unraisonnement.Laqualit´edelar´edaction etdelapre´sentation,laclart´eetlapre´cisiondesraisonnements,constituentdesobjectifstre`simportants.Ces travauxdere´dactiondoiventdoncˆetrefr´equents,maisleurlongueurdoitresterraisonnable.Leurcontenupeut ˆetrediversifi´eenfonctionduprojetdeformationdes´etudiants.
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