notes version du
8
pages
Français
Documents
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus
Découvre YouScribe et accède à tout notre catalogue !
Découvre YouScribe et accède à tout notre catalogue !
8
pages
Français
Documents
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus
- cours - matière potentielle : dea
Chapitre 11 Cara tères de Diri hlet 11.1 Cara tères de groupes Soit G un groupe abélien ni. Un ara tère de G est un homomorphisme de G dans le groupe multipli atif C? des nombres omplexes. On note G l'ensemble des ara tères de G, que l'on munit de la stru ture naturelle de groupe multipli atif ( 'est à dire pour ?1 et ?2 deux ara tères de G, ?1?2 est l'homomorphisme x 7? ?1(x)?2(x)) L'élément neutre de G(l'identité sur G), appelé ara tère prin ipal de G, sera noté ?0 ou 1. Il faut noter que l'inverse du ara tère ? est ? : x 7? ?(x). 11.2 Cara tères sur Z/nZ Déterminons les ara tères de (Z/nZ,+), pour n entier quel onque. Nous onsidèrons pour a ? Z/nZ : fa : Z/nZ? C x 7? e2iπax/n (11.1) C'est un ara tère de (Z/nZ,+), et tout ara tère de (Z/nZ,+) est de e type. En eet soit ? un tel ara tère. On a : ?(1)n = 1 don ?(1) = ? est une ra ine n-ième de l'unité, et ? est alors tout simplement l'appli ation 7? ?x.
- teur
- tères de diri hlet
- ara tère
- g2 ?
- inverse du ara tère
- fon tion
- proje tion anonique
- cara tères de diri hlet
- groupe abélien
Publié par
Langue
Français
G G
∗ ˆG G
G
χ χ G χ χ1 2 1 2
ˆx7! χ (x)χ (x) G G1 2
G χ0
χ χ : x7! χ(x)
/n
( /n ,+) n
a∈ /n
f : /n →a
2iπax/nx 7! e
( /n ,+) ( /n ,+)
nχ χ(1) = 1 χ(1) = ω
n χ
x7! ω
/n → /n
a7!fa
homomorphisme
nom
de
11.1
el?
de
,
de
sera
not?
Z
app
dans
),
e
ou
t
1.
11
Il
On
faut
tout
noter
e
que
e.
l'in
On
v
donc
erse
une
du
est
sur
Z
est
C'est
tit?
note
(l'iden
Z
de
,
neutre
de
t
m
L'?l?men
le
)
t
l'homomorphisme
eet
.
tel
est
:
est
sur
?lien
Z
un
,
Soit
de
et
Z
tout
D?terminons
group
les
L'application
Z
de
(11.1)
Z
un
deux
de
et
Z
Z
our
bres
p
des
dire
et
,
p
C
our
ultiplicatif
?
Z
en
group
tier
est
Nous
yp
En
p
soit
our
un
(c'est
ultiplicatif
a
Z
de
m
un
e
de
Z
Un
:
ni.
group
ab
de
group
naturelle
est
Z
-i?me
la
l'unit?,
Z
es
de
alors
C
simplemen
unit
l'application
m
de
l'on
.
que
Z
,
hlet
de
de
des
Z
ble
Chapitre
l'ensem
11.2
(11.2)
/n
/n
G
G
ˆ ˆ \G ×G →G ×G1 2 1 2
χ ×χ : G ×G →1 2 1 2(χ1,χ2)7!
(x ,x )7!χ (x )χ (x )1 2 1 1 2 2
χ χ = 1 =⇒ (χ χ )(x ,0) = 1 = χ (x ),1 2 1 2 1 1 1
x ∈ G χ = 1 χ = 11 1 1 2
\χ G ×G χ :1 2 1
x1 7! χ(x1,0) G χ1 2
χ (x )χ (x ) = χ(x ,x ) ⋄⋄⋄1 1 2 2 1 2
ˆG≃ G G
Y
G≃ /n .i
i=1
Y Y
ˆ \G≃ /n ≃ /n ≃ G.i i
i=1 i=1
t
.
e.
es
.
De
donc
m?me
e
Preuv
Z
une
t
est
Th?or?me
.
P
trer
our
,
la
group
surjectivit?,
Z
on
Z
v
par
oit
que
Z
si
?liens
(11.3)
.
est
un
our
annonc?
de
Z
C
?crit
:
duit
que
ab
remarquons
est
Nous
e
group
,
En
?tap
lemme
Premi?re
on
es.
un
?tap
:
deux
est
en
r?sultat
nis
ab
?tablissons
group
Nous
de
.
11.3
?
?tap
isomorphe
P
est
mon
un
que
de
Z
est
?
es
on
,
isomorphe
de
pro
m?me
de
on
es
d?nit
?liens
act?r
:
ar
Z
;
de
on
des
a
e
bien
le
:
des
appliquan
e
le
oup
gr
Son
obtien
ni.
isomorphisme
?lien
t
ab
,
e
no
triviale
Z
est
em
Cara
de
donc
2009
78
oup
Z
gr
[11]
un
Z
Soit
17.
et
23
v
p
bre
our
toutˆˆG→G
ˆx7! xˆ : G→G
χ7!χ(x)
ˆˆG G
ˆG G
( (
X X|G| χ = χ |G| x = 00
χ(x) = , χ(x) =
0 0
x∈G ˆχ∈G
(
X |G| χ = χ1 2
χ (x)χ (x) =1 2
0
x∈G
(
X |G| x = y
χ(x)χ(y) =
0 .
ˆχ∈G
χ = χ y χ(y) = 00
X X X
χ(x) = χ(x+y) = χ(y) χ(x).
x∈G x∈G x∈G
ˆx = 0 χ∈ G χ(x) = 1 ⋄⋄⋄
La
,
quadratique
Lemme
.
18.
induit
:
mon
gonalit?
que
d'ortho
partie
dites
de
si
laissons
suivantes,
fa?on
elations
sinon
r
isomorphime
les
Nous
sinon
Finissons
a
une
Preuv
e.
fond,
Comme
est
On
autres
2009
il
Il
que,
Une
un
,
existe
il
tre
existe
si
un
laissons
faut
aux
tel
que
par
noter
digression.
que
transformation,
11.4
dite
Cours
Gel-
DEA
t
Lille
parfaitemen
23
Nous
v
les
Il
v
vien
au
t
De
alors
notiore,
.
faut
?
trer
de
si
pas6
existe
et
n'en
il
qu'il
sinon
si
en
sinon
tel
alors
et
11.4
.
Une6
la
quadratique
d?monstration
79
si
de
isomorphisme
/6
20052009
soins
no
du
em
bre
.6f : G→
X
ˆf(x) = f(χ)χ(x)
ˆχ∈G
X
ˆf(χ) = f(y)χ(y)/|G|.
y∈G
G = ( /n ,+)
X X
2iπa/n −2iπy/nˆ ˆf(x) = f(a)e f(a) = f(y)e /n.
a n y n
∗G = (( /q ) ,x) χ
∗( /q ) /q χ(x) = 0 (x,q) = 1
χ → /q
χ
∗( /q )
/q
q
∗g ( /q )
χ : /q →
tx = g 7! exp(2iπt/(q−1))
07! 0
q
a
une
t
,
g?n?ral.
on
une
l'?tend
suite
?
g?n?ra-
Z
mo
Pour
Z
.
est
Z
?
en
Z
p
osan
de
t
dans
ourier)
de
F
3.
de
C
osition
(D?comp
on
19
:
si
g?n?rateur
Lemme
Z
de
osition
applique
Cara
tout6
d
[11]
.
80
v
23
:
v
C
bre
qui
ensuite
Z
C
La
?
d'apr?s
Z
Dans
,
en
restrein
premier
osan
Un
t
P
a
our
v
Z
ec
Un
la
existe
pro
e
,
?
Z
,
hlet
Z
11.5
Z
t
on
o?
Z
.
;
C
on
2.
remarquera
qui
que
a
l'on
Z
obtien
ave
t
dans
alors
.
une
une
fonction
v
arithm?tique
de
dans
t
.
m
ultiplicativ
e.
le
Nous
texte.
disp
la
osons
de
donc
de
se
trois
t
fonctions
que
Exemples
nous
1.
notons
toutes
Soit
de
un
et
de
que
Z
Z
fonction
Z
Il
.
l?
tel
la
teur
g?n?rale
group
est
mo
Consid?rons
Z
Z
Z
:
C
1.
pr?c?den
une
le
qui
On
v
a
de
est
un
simplemen
Z
:
est
d
a
mo
Z
Si
nous
(11.4)
app
s'agit
elons
de
toutes
forme
des
des
de
ar
hlet
act?r
dulo
es
.
de
no
.
em
On
2009
?tend∗H ( /q )
q−1|H| =
2
χ : /q → /q
(q−1)/2x7!x
07! 0
{0,±1}
x( )
q
2χ = 1
g
tg t x = g
χ
q q
X √
∀N ≥ 1, χ(n) ≤ q Logq.
