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NOTES DU COURS DE MATHS 3

CHRISTIAN LÉONARD

1.Rappels sur les espaces vectoriels Nous rappelons quelques propriétés fondamentales de l’espace vectorielRn.Nous revi-sitons en particulier les notions debase vectorielleet dematricequi ont été introduites dans le cours de Maths 2. 1.1.Vecteurs, bases, parties libres.L’ensembleRnest composé des éléments −→ x= (x1, . . . , xn) = (xi)1≤i≤noù lesxi,1≤i≤nsont des nombres réels.Rnest donc le produit cartésien dencopies de l’ensembleRdes nombres réels :Rn= R× ∙ ∙ ∙ ×Relle−x→unvecteuretxi∈Rest | {z }. saOn appièmecoordonnée. On munit nfois l’ensembleRndes opérations suivantes. Pour tous vecteurs−→x= (x1, . . . , xn)∈Rn, −→y= (y1, . . . , yn)∈Rnet toutλ∈R,on déﬁnit lamultiplication externepar −→ λ x=M(λx1, . . . , λxn)∈Rn et l’additionpar −x→+−y→=M(x1+y1, . . . , xn+yn). Le signeM=(égale surmonté de la lettre delta) signiﬁe que l’égalité correspond à une déﬁnition. Nous le rencontrerons de temps en temps dans ce cours. Dans l’écriture λ−→xde la multiplication externe, le signe multiplié n’est pas écrit explicitement, tout comme dans la multiplication habituelle des nombres réels que nous retrouvons dans λx1, . . . , λxn.Dans l’écriture−→+−→y ,le signe+correspond à une addition de vecteurs, x mais on utilise la même notation que pour l’addition des nombres réels que nous retrouvons dans l’addition terme à terme des coordonnées :x1+y1, . . . , xn+yn. Labase canoniquedeRnest l’ensemble des vecteurse−→1, . . . , e−→noù e−→1=M(1,0, . . . ,0), e−→2M= (0,1,0, . . . ,0), . . . , e−→n=M(0, . . . ,0,1). Date: 2004.