Note aux C R Acad Sci Paris acceptee Algebra Algebre

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Note aux C. R. Acad. Sci. Paris (acceptee) Algebra / Algebre Koszul Duality for PROPs Bruno Vallette1 Abstract The notion of PROP models the operations with multiple inputs and multiple outputs, acting on some algebraic structures like the bialgebras or the Lie bialgebras. We prove a Koszul duality theory for PROPs generalizing the one for associative algebras and for operads. Resume Dualite de Koszul des PROPs. La notion de PROP modelise les operations a plusieurs entrees et plusieurs sorties, agissant sur certaines structures algebriques comme les bigebres et les bigebres de Lie. Nous montrons une theorie de dualite de Koszul pour les PROPs qui generalise celle des algebres associatives et des operades. Version franc¸aise abregee. On travaille sur un corps de caracteristique nulle. Suivant J.-P. Serre dans [S], on regroupe sous le terme de gebre differentes structures algebriques comme les algebres, les cogebres et les bigebres. L'ensemble P(m, n) des operations a n entrees et m sorties agissant sur un certain type de gebres est un module a gauche sur le groupe symetrique Sm et a droite sur Sn. Ces deux actions sont compatibles. On appelle S-bimodule toute collection (P(m, n))m, n?N? de tels modules. Nous definissons un produit dans la categorie des S-bimodules qui represente les compositions d'operations a plusieurs entrees et plusieurs sorties.

dual coprop

uu uu

koszul duality

ww ww

pp pp

bb bb

koszul dual

hh hh

nn nn

gg gg

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NoteauxC.R.Acad.Sci.Paris(acceptee) Algebra /rbeelgA

Koszul Duality for PROPs

1 Bruno Vallette

Abstract The notion of PROP models the operations with multiple inputs and multiple outputs, acting on some algebraic structures like the bialgebras or the Lie bialgebras. We prove a Koszul duality theory for PROPs generalizing the one for associative algebras and for operads. Resume DualitedeKoszuldesPROPs.rseupasisularenoitdlePOomseposileLanodePRtion entreesetplusieurssorties,agissantsurcertainesstructuresalgebriquescommelesbigebresetles bigebresdeLie.NousmontronsunetheoriededualitedeKoszulpourlesPROPsquigeneralise celledesalgebresassociativesetdesoperades.

Versionfrancaiseabregee.

Ontravaillesuruncorpsdecaracteristiquenulle.

Suivant J.-P. Serre dans [S], on regroupe sous le terme deerbegiductrretuenersstebrelgsasueiq commelesalgebres,lescogebresetlesbigebres.

L’ensembleP(m, ntaresnoiade)psoneesetertnmsorties agissant sur un certain type de gebresestunmoduleagauchesurlegroupesymetriqueSmet a droite surSn. Cesdeux actions sont compatibles. On appelleS-bimoduletoute collection (P(m, n))m, n∈Nesdisnesulou.Ntelemsdosnosd un produitiedeegorcatnslaadsStaoisnauqrilusemidob-omscleteenesreprepo’dsnoitisop plusieursentreesetplusieurssorties.Ceproduitestbasesurlesgraphesdiriges(cf.Figure 1).

On denitunPROPcomme unS-bimodule muni d’une compositionPPP →associative. On donne les exemples du PROPBiLie(eiLesdreebgbiesdcf.[D]), du PROPBiLie0des bigebresdeLiecombinatoires(cf.[C]) et du PROPInfBisbdenitesimalesgierbseedoHfpni (cf.appelle[A]). OnPebre-g, tout module sur le PROPPruevselgeterbosedensietsidonO.rn classiques. Parexemple, uneBiLieg-nemetcaxetseerbeebredeLitunebig.e

Nousetendonslesdenitionsdebaretcobarconstructionsdesalgebresetdesoperadesaux PROPs,etnousgeneralisonsleslemmesdecomparaisondeB.Fresse[F]auxPROPs.Remarquons quelesdemonstrationsoperadiquesnesontpasreconductiblesici,carcesdernieresreposentsur lesproprietescombinatoiresdesarbres.

1 InstitutdeRechercheMathematiqueAvancee,UniversiteLouisPasteuretCNRS,7,RueReneDescartes,67084 Strasbourg Cedex, France. E-mail :vallette@math.u-strasbg.fr URL :http://www-irma.u-strasbg.fr/vallette 1

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