Mousse alors ! – fiche guide
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- fiche - matière potentielle : guide
- cours - matière potentielle : mathématique des trois voies
- aire hexagone
- empilement
- regard des espaces vides de la première couche
- volume du parallélépipède
- base nb
- cube
- cubes
- couches
- couche
- espace
- espaces
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Notions abordées MathématiquesCalculs d’aires et de volumes – –Polyèdres réguliers –Suites et dénombrements –Applications numériques –Fonction linéaire (expérience) –Histoire des maths –Vision dans l’espace –Symétries dans le plan et l’espace
Physique
– Structurede la matière – Massevolumique – Flottaison
Niveau de difficulté ème L’étude des polyèdres réguliers est un sujet de la 8année de MEP. Mais c’est aussi un thème que l’on ème ème aborde aux cours de mathématique des trois voies (en 8ou en 9). Le problème A est dans le plan. Il convient déjà dès que l’on a traité le théorème de Pythagore. Le problème B fait apparaître des suites. Si le nombre total de boulets est relativement compliqué, autant le ème nombre de boulets par couche est accessible dès la 7. Les nombres figurés et pyramidaux peuvent être une jolie activité de recherche. ème ème Le problème C convient à des élèves de 8B ou de 9des autres voies. Si on le résout algébriquement c’est un problème intéressant pour les élèves de MEP. Le problème D qui utilise la notion de masse volumique est relativement facile. Le bricolage est simple. Si on le fait faire à une classe, on aura suffisamment de tétraèdres pour assembler un icosaèdre et visualiser les éléments nécessaires à la résolution du problème C.
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Indications et solutions
Un problème... des solutions
A.L’hexagone est composé de six triangles équilatéraux. Si AB = a, la hauteur d’un triangle mesure :
2 2 a 3a3a 2 OH =a –= = ( ) 2 42
3a a · 2 2 3a aire AOB= = 2 4 2 2 3a 33a aire hexagone= 6· = 42
B
La surface couverte par les disques représente 6 tiers de disques, soit trois disques dont la surface vaut : 2 2 a 3pa 2 3·p =3·p· = · r ( ) 2 4
La densité surfacique vaut : 2 2 3pa 33ap : =≅ 0,9069 4 22 3 Valeurs intermédiaires en prenant 6 cm comme rayon : 2 2 aire hexagone = 93,53 cmaire d’un disque : 28,27 cm . La densité est identique.
B.Comme Harriot, détermine le nombre de boulets qu’il y a pour faire 4, 10 ou 1585 couches selon le type d’empilement choisi. Pour t’aider commence par déterminer combien il y a de boulets à la nième couche. Nb deNb boulesNb bouletsNb deNb boulesNb boulets couches dela basede la pilecouches dela basede la pile 1 11 11 1 2 45 23 4 3 914 36 10 4 1630 410 20 5 2555 515 35 10 100385 1055 220 1585 2512225 79712915101585 1256905664902745 2 n nn (n+1) (2n+1) / 6n n(n+1) / 2n (n+1) (n+2) / 6
Le nb de boulets de la base du second empilement suit lesnombres triangulaires. Les colonnes du total du nombre de boulets sont desnombres pyramidaux.
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On peut présenter aux élèves ces suites de manière graphique. Cela permet de justifier les formules ou pour les aider à les découvrir.
On peut représenter la suite desnombres triangulairessous forme d’escalier. Cicontre, une illustration pourn = 4.
Prendre deux « suites » et les emboîter. Pour former un rectangle. Le nombre de carrés, sera de4 · 5 = 20 ou, de manière générale :n (n+1).
Le nombre correspondant pour une seule suite vaut pour n couche : n (n+1) / 2
n = 4
n+1 = 5
On peut représenter les suites desnombres pyramidaux sousforme de rectangles qui forment un parallélépipède rectangle.
Voici une illustration pourn = 5et unepyramide à base carrée.
Dans ce modèle une boule est représentée par un cube de 1 d’arête. La couche de base qui compte 55 = 25 boules est représentée par un xparallélépipède de 55 1. xx
Prenons 6 pyramides de 5 couches. Avec ces 6 parallélépipèdes, on peut former la structure ci contre :
x xx x Le trou qu’elle contient mesure :n n1 2n1(ici :5 4 9)
2n+1 = 11
n+1 = 6
n = 5
soit exactement l’espace pour réaliser la même structure avec les blocs de la couche n1 des six pyra mides. On va ainsi remplir exactement le parallélépipède avec les six pyramides.
Le nombre de boules pour six pyramides correspond au volume du parallélépipède : 5 · 11 · 6 = 330
Pour une seule pyramide, le nombre de boulets est donc de :
soit 330: 6 = 55
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n · (n+1) · (2n+1) 6
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Voici une illustration pourn = 5et unepyramide à base triangulaire.
Dans ce modèle une boule est représentée par un cube de 1 d’arête. La couche de base qui compte 15 boules est représentée par un escalier de 5 marches, comme pour les nombres triangulaires.
Prenons 6 pyramides de 5 couches. Avec ces 6 esca liers on peut former la structure cicontre :
Le trou qu’elle contient mesure :n n1 n+1(ici :5 4 6) x xx x
n+2 = 7
n = 5
n+1 = 6
soit exactement l’espace pour réaliser la même structure avec les blocs de la couche n1 des six pyra mides. On va ainsi remplir exactement le parallélépipède avec les six pyramides.
Le nombre de boules pour six pyramides correspond au volume du parallélépipède : 5 · 6 · 7 = 210
Pour une seule pyramide, le nombre de boulets est donc de :
soit 210: 6 = 35
n · (n+1) · (n+2) 6
C.Détermine le rapport entre le volume occupé par les boules et le volume des interstices dans le cas d’un empilement de boules le plus compact possible. Lesempilements les plus compacts comporteront toujours trois boules qui forment un triangle équilatéral surmontées par une quatrième boule. Les centres de ces boules forment un tétraèdre. Latroisième couche hexagonale d’un empilement compact peut être exactement superposée à la première couche. C’est le cas des empilements « cubique face centrée » (à droite sur l’illustra tion). Au contraire, les boules de la troisième couche peuvent être mises en regard des espaces vides de la première couche. Il s’agit alors d’un empilement « hexagonal compact » (à gauche). Nousallons calculer la compacité dans le cas d’un empilement cubique face centrée. La maille du réseau est un cube dont les sommets sont les centres des sphères. Sir est le rayon d’une boule, alors l’arête diagonale d’une face de cube mesure 4 r.
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http://en.wikipedia.org/wiki/File:Close_packing_box.svg
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2 16 r L’arête du cube mesure :2 r= 2 2 3 3 16 2r) =(2 2Le volume du cube est donc de :r Le cube contient 6 demiboules et 8 huitièmes de boules, soit 4 boules. 3 3 4pr 16pr 4 ·Le volume occupé par des boules dans le cube vaut := 3 3 La compacité est le rapport entre le volume occupé par les boules et le volume total. 3 16pr p2p 3La compacité vaut donc :: (162 r ) =≅ = 0,74 3 3 26
D.Utilise le facteur de compacité pour déterminer la masse Autre application pratique volumique de la mousse syntactique dont les para mètres sont décrits à la page précédente. Vous pouvez télécharger la rubrique« Sésame,entassetoi !» de l’émission Les74% du volume sont occupés par les boules et les « impatience »de la RSR. On y développe 26% restants par la résine. comment des physiciens mènent des Lamasse volumique vaut donc :recherches commandées par des céréaliers sur le stockage et l’écoulement des céréales 3 0,74· 260 + 0,26 · 1100 = 478,4 [kg/m ] dans les silos et la place qu’elles y utilisent. http://www.rsr.ch/#/la1ere/programmes/ Cesflotteurs sont relativement denses car on choisit des impatience/?date=02022011 billes d’épaisseur suffisante pour supporter 700 bars !
Quizz… Combien comptetil de faces ?4 Combien comptetil d’arêtes et de sommets ?6 arêtes et 4 sommets Relie les centres des faces deux à deux. Quel solide obtienstu ?untétraèdre. Le tétraèdre est son propre dual.
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ricolage... prolongement on fait faire le bricolage à tous les élèves, on peut n profiter pour assembler 20 tétraèdres et former n icosaèdre. Le solide platonicien qui compte le lus de faces. En passant, on aura formé deux bipy mides à base pentagonale. n peut se lancer dans des calculs de surface et de lume.
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