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pefav

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METHODES ENERGETIQUES - EXERCICES Allongement elastique d'une barre On considere une barre elastique de section homogene S, de longueur L, et dont le materiau possede un module d'Young E. Cette barre est soumise a une traction par deplacement d'une de ses extremites d'une quantite U , l'autre restant fixe. On se limitera a l'etude des etats de contrainte uniaxiaux, de sorte que la contrainte de traction dans la barre ? sera reliee a sa deformation ? = ∂u∂x sous la forme ? = E? (voir figure 1). 0 L x Fig. 1 – Schematisation d'une barre elastique – Montrer qu'un champ de deplacement de la forme u(x) = U( xL)n avec n ≥ 1 est cinematiquement admissible. En postulant un tel champ, calculer l'energie potentielle de la barre ?p, parametree par n. Calculer la forme du champ de deplacement qui minimise cette energie. 1

barre elastique de section homogene

champ de contraintes ?

cinematiquement admissible

energie potentielle de la barre πp

contrainte de traction dans la barre ?

energie po- tentielle de la barre

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exercice exercices

  METHODES ENERGETIQUES -EXERCICES

Allongementelastiqued’unebarre

OnconsidereunebarreelastiquedesectionhomogeneS, de longueurL, et dontlemateriaupossedeunmoduled’YoungEteC.abetenisumaueeerrsost tractionpardeplacementd’unedesesextremitesd’unequantiteU, l’autre restantxe.Onselimiteraal’etudedesetatsdecontrainteuniaxiaux,de sorte que la contrainte de traction dans la barreσareresesaileoitanedamrof ∂u ²la forme= sousσ=E²(voir gure 1). ∂x

Fig.ueiqstlaeerrabenu’dnoitematisa1–Sch

x n –Montrerqu’unchampdedeplacementdelaformeu(x) =Uavec( ) L n≥adntmeueleibssmiutsopnE.etnutnallchamp,tsice1taqinme calculerl’energiepotentielledelabarrep,araptemeerrapn. Calculer laformeduchampdedeplacementquiminimisecetteenergie. 1

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