Matrice de passage et changement de base

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Annette Paugam, 12 mai 2005 1 Matrice de passage et changement de base

Soient K un corps et E un K -espace vectoriel de dimension ﬁnie. Pour travailler danscetespacevectoriel,onutilisesouventunebaseetlescoordonn´eesdes vecteursdanscettebase.Maisdanstousleschapitresd’alg`ebrelin´eaireou bilin´eaire,ilyadesmomentsou`l’onsouhaitechangerdebaseetl’onrencontre alors des diﬃcult´s : e – Comment se souvenir de ce qu’il y a dans la matrice de passage ? –Lamatricedepassage,oui,maisdequellebase`aquellebase? – Est-ce P ou P − 1 ou t P ou t P − 1 quiintervientpourleprobl`emequel’on ´tudie ? e Autant de questions que chacun se pose un jour ou l’autre surtout quand le courssurlechapitreconcern´eestunpeuloindanslame´moire.Lesmatrices de passage peuvent aussi faire l’objet de questions « indiscre`tes » a`l’oralde l’agre´gation.Et,dansuncoursdepremiercycle,commentpr´esentercetteno-tionauxe´tudiantspouressayerd’´eviterleserreurs? Voiciunelistedesituationsou`interviennentlesmatricesdepassage.Chacune decessituationsestexplique´eetillustr´eeparunexemplesimple,maissigni-ﬁcatif, dans ce document. On peut « naviguer » dans ce document en l’ouvrant avec acrobat reader ou adobe reader pour y trouver plus vite l’information utile. Les principales dif-ﬁcult´essonte´critesenrougeetsoulign´es,leschosesa`retenirsontenitalique. 1.lechangementdecoordonn´ees,rapportavecladualit´e; 2.le(s)changement(s)debasepouruneapplicationlin´eaire; f : E −→ F ou f : E −→ E 3.lechangementdebasepouruneformebilin´eaire; 4. le changement de base pour une forme quadratique ; 5. le changement de base pour une forme hermitienne ; 6.ladiagonalisationdesmatricessyme´triquesetapplicationauxformes quadratiques ; 7.lar´eductionsimultan´eededeuxformesquadratiques; 8.lesope´rations´ele´mentairessurlescolonnesouleslignesd’unematrice; 9.larecherched’unebaseadapte´epourunsous-moduled’unmodulelibre de type ﬁni sur un anneau principal (le plus souvent euclidien) ; 10.lapr´esentationd’unmoduledetypeﬁnisurunanneauprincipal(leplus souventeuclidien)etl’applicationauxgroupesab´eliensdetypeﬁniet aux invariants de similitude.

Annette Paugam, 12 mai 2005

Ce qu’il faut retenir Soit E un espace vectoriel muni d’une base ( e i ) et soit ( e 0 i ) une « nouvelle base » de E . Ces deux bases de E sontindexe´espar { 1 . . . n } ou` n =dim( E ). Voicilesdeuxchosesqu’ilfautretenirlorsquel’onsouhaitce´d` e pro er a un changement de base de la base ( e i )a`labase( e 0 i ) : – L’applicationline´airequiintervientdansunchangementdebaseest l’identit´e, car on ne change rien aux vecteurs. On change seulement les coordonne´esdesvecteursdansunebase. – Lamatricedepassagecontientencolonneslescoordonn´eesdesvecteurs de la nouvelle base ( e i 0 ) exprime´esdansl’anciennebase ( e i ) . Apartirdecesdeuxdonn´eesonretrouvelade´ﬁnitiondelamatricedepassage P dites « de ( e i )a`( e i 0 ) » . C’est la matrice de Id dans les bases E − Id → E ( e 0 i ) P ( e i ) Exemple : Dans R 2 , muni de sa base canonique ( e 1 , e 2 ), on pose e 0 1 = 2 e 1 +5 e 2 et e 0 2 = e 1 + 7 e 2 .Lamatricedepassagedelabasecanonique`alanouvellebase ( e 0 1 , e 0 2 ) est Id ( e 0 1 ) Id ( e 0 2 ) ee 2  2517  1 Le diagramme, avec l’application Id, permet de tout reconstituer. Il est im-portant de faire ce diagramme et de bien voir la matrice de passage comme matricedel’identite´ d`esquel’onabordeunchangementdebase. Privile´giezlesmanuelsquiproposentdesdiagrammesoudessch´emas:[JPE], [RDO1], [Gob], par exemple. Attention : Lanouvellebaseestcelledel’espaceded´epart (Nepaschercher`ale retenirmaisplutoˆta`bienlecomprendre). La raison de ce choix, c’est que, dans les situations standards, on se donne bien lesvecteursdelanouvellebaseparleurcoordonne´esdansl’anciennebase. Onconviendradanstoutcetextequelanouvellebaseseranote´eavecles mˆemeslettresquel’ancienne,maisaﬀect´eesd’un’.Demeˆmelesnouvelles coordonne´esserontnote´esaveclesmeˆmeslettresquelesanciennesaﬀecte´es d’un ’.

Retouraude´but

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