Maths classes de premi're

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Jean-Claude Chanteau

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Dérivée

Le programme cite plusieurs approches possibles de la dérivée. Il suggère d’éviter l’in-troduction préalable de la notion de limite d’une fonction en un point, et d’adopter au départ un langage intuitif : le nombre dérivé defen un réelaétant, par exemple, f(a+h)−f(a) ce vers quoi «tend »le rapportquandh« tend »vers 0. À l’expérience h de nombreux enseignants dont c’était déjà la pratique, cette absence d’usage préalable de la notion de limite n’est pas une gêne lors de l’introduction du nombre dérivé; au contraire, cette irruption de la notion de limite justifie un paragraphe ultérieur de mise au point sur la notion de limite en 0: l’intuition suffira pour établir un certain nombre de résultats relatifs à la limite quandhtend vers 0 d’expressions du typef(a+h) pour des fonctionsf(polynômes, rationnelles ou avec radicaux), ainsi« régulières » qu’à la limite d’une somme, d’un produit ou d’un inverse. Le programme demande que soient justifiés un certain nombre de résultats. «Justifier » signifie ici «convaincre »(au sens d’«éclairer »et non de «contraindre »par un rai-sonnement déductif imparable) à l’aide d’arguments calculatoires (calcul du taux d’ac-croissement de 1/uou deuv), graphiques (pour la monotonie) ou «intuitifs »(pour la limite deu(a+h) ou le produit de limites). Ainsi, pour 1/u:, il s’agit d’écrire que 1u a+h−1u au a+h−u a ( )( )( )( ) = − h hua+h u a ( )( ) et de conclure en faisant des raisonnements «intuitifs »sur les limites et leurs produits. On trouvera ci-dessous quelques situations permettant soit une approche possible de la notion de dérivée et de tangente, soit un éclairagea posteriori. Situation 1 (approche) : le terril (D’après un document du groupe AHA, Approche heuristique de l’analyse, uni-versité de Louvain-la-Neuve, Namur.) Au sommet d’un terril de 25 m de haut se trouve planté un bâton de 1 m de haut. On admet que la ligne de pente de ce terril est une portion de la para-2 bole d’équationy= –x+ 25.

À quelle distance du pied du terril faut-il se placer pour apercevoir le bout du bâton de 1 mètre de haut ? L’illustration ci-dessus représente une modélisation de cette situation et aide les élèves à bien situer le problème. Placé trop près, on ne pourra pas voir le sommet du bâton. En un point d’abscisses de l’axe des abscisses, la direction du regard doit «frôler »le flanc du terril.

Mathématiques – Classe de première des séries générales 61

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