Mathématiques Quantiques Discrètes
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Catalan
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Introduction Introduction
Plan du cours Plan du cours
Ensembles de nombres Ensembles de nombres
Introduction
Mathematiques Quantiques Discretes Commen cons par expliquer le titre.
\quantique" fait reference a la theorie physique appelee
\mecanique quantique" qui modelise les proprietes des systemes de
Didier Robert particules de matiere a l’echelle atomique et en dessous (tailles
10Facultes des Sciences et Techniques d’ordre de l’Angstr om, 10 m = 1A).
Laboratoire de Mathematiques Jean Leray, Universite de Nantes \discret" est ici a mettre en opposition a \continu". Une structure
email: didier.robert@univ-nantes.fr discrete est une structure composee d’elements isoles les uns des
autres, comme par exemple les mailles d’un reseau. Une structure
continue est composee d’une distribution de matiere qui varie
\continument" d’un point a un autre de la structure.
Didier Robert Facultes des Sciences et Techniques Laboratoire de Math em ematiquesatiques JeanQuantiquesLeray, UniversitDiscretese de Nantes email: didier.robert@univ-nantes.fr Didier Robert Facultes des Sciences et Techniques Laboratoire de Math em ematiquesatiques JeanQuantiquesLeray, UniversitDiscretese de Nantes email: didier.robert@univ-nantes.fr
Introduction Introduction
Plan du cours Plan du cours
Ensembles de nombres Ensembles de nombres
L’etat d’un systeme peut ^etre caracterise par un nombre ni ou
in ni de parametres. Un point dans l’espace est repere par ses trois
L’objectif du cours est d’exposer les ...
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Plan du cours Plan du cours
Ensembles de nombres Ensembles de nombres
Introduction
Mathematiques Quantiques Discretes Commen cons par expliquer le titre.
\quantique" fait reference a la theorie physique appelee
\mecanique quantique" qui modelise les proprietes des systemes de
Didier Robert particules de matiere a l’echelle atomique et en dessous (tailles
10Facultes des Sciences et Techniques d’ordre de l’Angstr om, 10 m = 1A).
Laboratoire de Mathematiques Jean Leray, Universite de Nantes \discret" est ici a mettre en opposition a \continu". Une structure
email: didier.robert@univ-nantes.fr discrete est une structure composee d’elements isoles les uns des
autres, comme par exemple les mailles d’un reseau. Une structure
continue est composee d’une distribution de matiere qui varie
\continument" d’un point a un autre de la structure.
Didier Robert Facultes des Sciences et Techniques Laboratoire de Math em ematiquesatiques JeanQuantiquesLeray, UniversitDiscretese de Nantes email: didier.robert@univ-nantes.fr Didier Robert Facultes des Sciences et Techniques Laboratoire de Math em ematiquesatiques JeanQuantiquesLeray, UniversitDiscretese de Nantes email: didier.robert@univ-nantes.fr
Introduction Introduction
Plan du cours Plan du cours
Ensembles de nombres Ensembles de nombres
L’etat d’un systeme peut ^etre caracterise par un nombre ni ou
in ni de parametres. Un point dans l’espace est repere par ses trois
L’objectif du cours est d’exposer les ...
Introduction Plan du cours Ensembles de nombres
Math´ematiquesQuantiquesDiscr`etes
Didier Robert Faculte´sdesSciencesetTechniques LaboratoiredeMath´ematiquesJeanLeray,Universite´deNantes email: didier.robert@univ-nantes.fr
DidierRobertFaculte´sdesSciencesetTechniquesLaboratoired
Introduction Plan du cours Ensembles de nombres
Mathe´matiquesQuantiquesDiscr`etes
L’e´tatd’unsyste`mepeuteˆtrecaract´eris´eparunnombrefiniou infinideparam`etres.Unpointdansl’espaceestrep´er´eparsestrois coordonn´ees,unsyst`emede3pointspar9coordonne´es,etc... Lapositiond’unsolideestrep´er´eeparlapositiondechacundeses points, qui sont en nombre infini. Dans le premier cas on parle de syst`emediscretetonpeutlese´tudiermath´ematiquementdansdes espacesvectorielsdedimensionfinie,`al’aideducalculmatriciel. Dansledeuxie`mecasonaaffaire`adessyste`mescontinusqui ne´cessitentdetravaillerdansdesespacesdedimensioninfinie, mathe´matiquementbeaucouppluscompliqu´es,quenouse´viterons autant que possible dans ce cours. D’ailleurs une bonne compre´hensionducasdiscretpermetd’aborderplusfacilementle cas continu.
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Mathe´matiquesQuantiquesDiscr`etes
robert@univ-nantes.
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Introduction
Introduction Plan du cours Ensembles de nombres
Commen¸consparexpliquerletitre. “quantique”faitr´ef´erencea`lathe´oriephysiqueappel´ee “m´ecaniquequantique”quimode´liselespropri´ete´sdessyste`mesde particulesdematie`rea`l’e´chelleatomiqueetendessous(tailles −10 d’ordredel’Angstro¨m,10m= 1A). “discret”esticia`mettreenoppositiona`“continu”.Unestructure discr`eteestunestructurecompos´eed’´el´ementsisole´slesunsdes autres,commeparexemplelesmaillesd’unre´seau.Unestructure continueestcompose´ed’unedistributiondematie`requivarie “continument”d’unpoint`aunautredelastructure.
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Introduction Plan du cours Ensembles de nombres
Mathe´matiquesQuantiquesDiscr`etes
L’objectifducoursestd’exposerlesfondementsmath´ematiquesde lathe´oriequantiquesurdesmod`elesdiscrets.Cecoursestavant toutuncoursdemathe´matiques,motiv´eparl’utilisationquien faitedansundomainedelaphysiqueo`uleurpre´senceest particuli`erementforteeta`unniveaud’abstraction´eleve´.J’ai essaye´d’expliquerlesraisonsdecefait(in´eluctable!)dansune conf´erencedonne´een2007,chargeablesurmapageweb: Mathe´matiquesetPhysique.LelangagedelaNatureest-il mathe´matique?http://www.math.sciences.univ-nantes.fr/robert/
DidierRobertFaculte´sdesSciencesetTechniquesLaboratoired
Math´ematiquesQuantiquesDiscre`tes
robert@uni
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Introduction Plan du cours Ensembles de nombres
Partie I: Nombres et Espaces
1.Nombres complexes-rotations planes. 2.cuesleirotcevsecpaEsionslin´eaires.Bilidne.spAlpcitasesa. Matrices. 3.tsTeoduiielsnsore´ar-spO-srPetrupaEsshcemierenti. 4.Etude des rotations de l’espace-quaternions-matrices de Pauli.
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Introduction Plan du cours Ensembles de nombres
Math´ematiquesQuantiquesDiscr`etes
Partir des entiers Lesnombresre´els Les nombres complexes utilisation des nombres complexes en physique
“All the mathematical sciences are founded on relations between physical laws and laws of numbers, so the aim of exact science is to reduce the problems of nature to the determination of quantities by operations with numbers” J. C. Maxwell, physicien Ecossais, 1831-1879.
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Math´ematiquesQuantiquesDiscr`etes
robert@univ-nantes.
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Introduction Plan du cours Ensembles de nombres
PartieII:Mod`elesquantiques
1.tate´rpretnI-euqtianquueiqanecm´edalarxunee´se´gncipPriion del’exp´eriencedeStern-Gerlach. 2.ere`pstealedimulsariontilaPoT.tooiniN.-UIBdnQe 3.s.ueiqntliga´eInale´rroCauqsnoitIntrion-icat´tseedeBll. 4.tiane.qu`tellalaqigouqeuroductionaucalcuItn
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Introduction Plan du cours Ensembles de nombres
Mathe´matiquesQuantiquesDiscr`etes
Partir des entiers Lesnombresr´eels Les nombres complexes utilisation des nombres complexes en physique
Lesensemblesdenombresusuelsenmath´ematiquessontnot´es N,Z,Q,R,C. Nest l’ensemble de entiers naturels,{0,1,2,∙ ∙ ∙,n,n+ 1,∙ ∙ ∙ }. Une notion basique est celle denombre premierest. C’est nombreaumoinse´gala`2,quin’estdivisiblequepar1et lui-meˆme.2,3,5,7,11,13sontpremiers.12n’estpaspremier. 43112609 Leplusgrandnombrepremierconnu`acejourest2−1 , quicomportepr`esde13000000chiffresen´ecriturede´cimale.Les nombrespremierssontutilise´spourcoderdesinformations(codes des cartes bancaires par exemples). On trouve ensuite l’ensembleZ les entiers relatifs,x=±n,n∈Ncnee´erdtffifiserrieatelou.Tntte de 2 entiers naturels (et inversement). Tout entierx∈Za un inversepourl’additionnot´e−x,x+ (−x),o=0ecn´trix−x= 0.
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Math´ematiquesQuantiquesDiscre`tes
robert@uni
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