Mathématiques CHAPITRE III DIAGONALISATION et ...
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Universite de Bourgogne Annee 2011-2012 L3SFA-L3 Mecanique: Mathematiques CHAPITRE III DIAGONALISATION et TRIGONALISATION DES ENDOMORPHISMES K designe dans tout ce chapitre le corps des reels R ou des complexes C. E designe un espace vectoriel de dimension n sur K et soit B = (e1,e2, ..,en) une base de E . Soit f un endomorphisme de E et A f sa matrice dans la base B. Le but de ce chapitre est d'essayer de selectionner ”une bonne base” de fac¸on que la matrice de f dans cette derniere soit la ”plus simple possible”, c'est-a-dire avec beaucoup
Voir
- diagonale repond au theoreme precedent
- racines du polynome caracteristique
- superieure
- ordre de multiplicite
- polynome caracteristique
- matrice triangulaire
- theoreme
- matrices
- matrice
- base
- bases
Universit´edeBourgogne
L3SFA-L3M´ecanique:Mathe´matiques
CHAPITRE III DIAGONALISATION et TRIGONALISATION DES ENDOMORPHISMES
Anne´e 2011-2012
Kgienadsn´dseapitreletoutcechee´rslprocsedsRou des complexesC.Eapecnusegien´dseimenldedorievectnoisnsur Ket soitB= (e1,e2, ..,en)une base deE. Soitfun endomorphisme deEetAfsa matrice dans la baseB. Le but de ce chapitre est d'essayer de se´lectionner ”une bonne base” de fac¸on que la matrice defre`eitsoedttnieradecsnsible”,milppesoalp”ulss c'est-`a-direavecbeaucoupdecoefficientsnuls.Lapremi`ereformeenvisag´eeestdoncunematricediagonale,soitunematrice dont tous les coefficients hors la diagonale principale sont nuls. On va d'abord de´gager les outils ne´cessaires avant d e donner des the´ore`mesd'existencedetellerepr´esentationmatricielledef.
•oitatoN..sn´e:Desprnsioitfinorpsserpcev,ruetceparospou,sess-spropresIValeur
E est un espace sur K de dimensionnetfest un endomorphisme de E. 1. Rappels: D´efinition:Deuxmatricescarr´eesAetBd'ordrenmatricesont appele´es semblables (ou conjugue´es) s'il existe une carr´eed'ordreninversiblePtelle que : −1 B=P AP Alors:detB=detA. Toutes les matrices d'un endomophismefmˆemntleoncosetd,tninaetmrdee´dnadsf´ifenerbaessdselbmeelbassetstno appele´det(f). 2. Valeurpropre: Un e´le´ment deK,lppel´e,seatune valeur propredefsi et seulement s' il existe un vecteur non nulvde E tel que f(v) =lv.
3. Vecteurpropre et sous- espace propre: (a) Soitlune valeur propre defvecteur. Unvv´erifiantf(v) =lvseatpple´eun vecteur propredefrelatif a` la valeur proprel. l (b) SoitVll'ensemble des vecteurs propres defrelatifs a` la valeur propre. Alors: l Vl=Ker(f−I)deniioatde´eitnttseIu`ocilppa'lE. Vlest donc un sous-espace deEppel´eleasous-espace propredefrelatif a` la valeur propreldef.
4.Proprie´tes´el´ementaires: l ll (a) valeurpropre def⇔ ∈KetVl6={0∈} ⇔KetdimVl≥1. (b)lvaleur propre def⇔l∈KetKer(f−lI)6={0} ⇔l∈Ketdet(f−lI) =0.
5.Polynˆomecaracte´ristique: (a)D´efinition: Pf(x) =det(f−xI)tuesolnpˆoyndemexde degre´n, appele´ lepolynoˆ mecaracte´ristiquedef.
