Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre Methodes iteratives

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Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre 6 : Methodes iteratives Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009

theoreme du point fixe de banach

mathematiques assistees par ordinateur chapitre

point fixe

approximation de racines d'apres newton–heron

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Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 6 : Méthodes itératives

Michael Eisermann

Mat249, DLST L2S4, Année 20082009 wwwfourier.ujfgrenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Document mis à jour le 6 juillet 2009

Sommaire

Systèmes dynamiques et points ﬁxes

Le théorème du point ﬁxe de Banach

La méthode de Newton

Sommaire

Systèmes dynamiques et points ﬁxes Suites itératives, convergence, points ﬁxes Approximation de racines d’après Newton–Héron Instabilité numérique : l’effet papillon Dynamique locale autour d’un point ﬁxe

Le théorème du point ﬁxe de Banach

La méthode de Newton

Convergence d’une suite numérique (rappel) La notion de convergence sera fondamentale dans toute la suite.

Convergence d’une suite numérique (rappel) La notion de convergence sera fondamentale dans toute la suite. Déﬁnition (convergence) Unesuite(un)n∈NdansRest une applicationN→R,n7→un.

Convergence d’une suite numérique (rappel) La notion de convergence sera fondamentale dans toute la suite. Déﬁnition (convergence) Unesuite(un)n∈NdansRest une applicationN→R,n7→un. La suite(un)n∈NdansRconvergeversℓ∈Rsi pour toutε >0 il existeN∈Ntel que pour toutn≥Non ait|un−ℓ| ≤ε.

Exemple n Pour|k|<1la suite géométriquekconverge vers0.

Convergence d’une suite numérique (rappel)

La notion de convergence sera fondamentale dans toute la suite. Déﬁnition (convergence) Unesuite(un)n∈NdansRest une applicationN→R,n7→un. La suite(un)n∈NdansRconvergeversℓ∈Rsi pour toutε >0 il existeN∈Ntel que pour toutn≥Non ait|un−ℓ| ≤ε.

Exemple n Pour|k|<1la suite géométriquekconverge vers0.

Exemple 9+un Soitu0= 0puisun+1=pour toutn∈N. 10

Convergence d’une suite numérique (rappel)

Exemple n Pour|k|<1la suite géométriquekconverge vers0.

Exemple 9+un Soitu0= 0puisun+1=pour toutn∈N. 10 u0= 0, u1= 0.9, u2= 0.99, u3= 0.999,

u4= 0.9999,

. . .

Convergence d’une suite numérique (rappel)

Exemple n Pour|k|<1la suite géométriquekconverge vers0.

Exemple 9+un Soitu0= 0puisun+1=pour toutn∈N. 10 u0= 0, u1= 0.9, u2= 0.99, u3= 0.999, u4= 0.9999, . . . 1n Cette suite converge vers1, car|un−1|)= ( →0. (Exercice) 10

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