Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre Integration numerique

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Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre 8 : Integration numerique Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009 1/47

majoration d'erreur methodes de simpson

majoration d'erreur methode des trapezes

proprietes de l'integrale

formule d'euler-maclaurin extrapolation de richardson

revision de l'integrale de riemann

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Math´ematiquesassist´eesparordinateur Chapitre8:Int´egrationnume´rique

Michael Eisermann

Mat249, DLST L2S4, Anne´ e 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Document mis a` jour le 6 juillet 2009

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Motivation et objectifs G´eom´etriquement,l’inte´graleRabf(x)dx d’une fonction continuef: [a, b]→R mesure l’aire entre l’axe des abscisses etf. L’inte´ gration est aussi l’ope´ ration«inverse» a` l d ´ rivation. SiF: [a, b]→Rv´eriﬁe a e F0f, alorsRabf(x)dx=F(b)−F(a). = Dansdesrarescasfavorablesonarrive`aexpliciterune telle fonction F, dite primitive defec.Ctdmeeripeluclaceniatrecresint´egrales. Eng´ene´ralc’esttropdur,voireimpossible:laplupartdesfonctions n’admet pas de primitives s’exprimant a` l’aide des fonctions usuelles. Motive´parcetteprobl´ematique,cecourspr´esentequelques m´ethodespourcalculer´munemeuqirent.sareltelldet´egesin Comme toujours, avant de calculer quoi que ce soit, il faut d’abord de´ﬁnir.stee´rp´ipsorlepaciinpresrslibate´siup,noitselo’jbteneuq On commencera donc avec une re´ vision de l’inte´ grale de Riemann. 2/47

Sommaire

L’inte´graledeRiemann:constructionetpropri´et´es Construction de l’inte´ grale de Riemann Proprie´t´rincipalesdel’int´egrale es p Differentiation et inte´ gration ´

M´ethodesnum´eriquesbasiques M´ethodesdesrectangles,majorationd’erreur Me´ thode des trape` zes, majoration d’erreur Comparaison des me´ thodes basiques

M´ethodesdeNewton-Cotes Me´thodes´el´ementaires,majorationd’erreur Me´thodescompos´ees,majorationd’erreur Me´ thodes de Simpson, Boole, Weddle

La me´ thode de Romberg La formule d’Euler-Maclaurin Extrapolation de Richardson La´ethodedeRomberg m

/374

§1.

Qu’est-ce que l’inte´ grale ? Onveutassocier`af:R→Reta < b elun nombre re´Rabf,aelpp´e l’inte´ grale defsur[a, b]er,lvl´seeri:ﬁantquelquesexigencesnatu Constantes :Rbaλ= (b−a)λpour toutλ∈R Subdivision :Rcaf=Rbaf+Rbcfpour touta < b < c Monotonie :Rbaf≤Rabgsif(x)≤g(x)poura < x < b