Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre Developpement de Taylor et series entieres

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Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre 5 : Developpement de Taylor et series entieres Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009 1/36

polynome de taylor ∑n

polynome

developpement de taylor developpement de taylor

mathematiques assistees par ordinateur chapitre

series formelles

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Français

Math´ematiquesassist´eesparordinateur Chapitre5:De´veloppementdeTaylorets´eriesentie`res

Michael Eisermann

Mat249, DLST L2S4, Anne´ e 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Document mis a` jour le 6 juillet 2009

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Objectif : des polynoˆ mes aux se´ ries Rappel : avec les quatre ope´ rations arithme´ tiques+,−,∗,/ onpeutconstruiredespolynˆomesetdesfractionsrationnelles. Prochaine´etape:construiredesfonctionsplusg´en´eralescomme exp(x) = 1 +x+x22+x3!3+x4!4+. . . ln(1 +x) =x−x22+x33−x44+. . . sin(x) =x−x3!3+x55!−x77!+. . . 4x6 cos(x) = 1−x22+x4! 6!+. . . − Proble` me :quel sens donner aux trois petits points«. . .»? Commentrendrecesformulesrigoureuses?Deuxpossibilit´es: 1onylop:inﬁtnemeorylTademelopp´eveDPkn=0akxk+ erreur ! ˆ 2`iterre´sneei´Dventinﬁni:eloppemePk∞=0akxk !+ convergence e Les deux approches sont tre` s importantes dans les applications. 2/36

Sommaire

D´eveloppementdeTaylor D´eveloppementdeTaylor,restedeLagrange Application a` l’exponentielle, sinus et cosinus Impl´ementationdel’exponentielle

Se´riesformellesetse´riesenti`eres Se´ ries formelles, ope´ rations formelles Se´ ries entie` res, rayon de convergence Se´ ries de Taylor, fonctions analytiques

Imple´ mentation de fonctions usuelles Fonctionsusuellesde´veloppe´esens´eries Exemple : imple´ mentation deln(x) Exemple : fonctions de Bessel

/363

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