Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre Calcul matriciel et algebre lineaire

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Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre 9 : Calcul matriciel et algebre lineaire Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009 1/56

reduction des endomorphismes espaces vectoriels

methode des iterations inverses

calcul de la solution

mathematiques assistees par ordinateur chapitre

systeme d'equations lineaires

algorithme de gauss calcul matriciel

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Math´ematiquesassist´eesparordinateur Chapitre9:Calculmatricieletalg`ebrelin´eaire

Michael Eisermann

Mat249, DLST L2S4, Anne´ e 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Document mis a` jour le 6 juillet 2009

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Sommaire

R´esolutiondesyste`mesd’´equationslin´eaires Syste` mes d’e´ quations line´ aires, l’algorithme de Gauss Calcul matriciel : addition, multiplication, inversion, de´ terminant Stabilite´num´erique,conditionnementd’unematrice

Re´ duction des endomorphismes Espacesvectorielsetapplicationslin´eaires Vecteurs propres, polynome caracte´ ristique ˆ Polynomeminimal,m´ethodesdecalcul ˆ

Me´thodesapproche´esit´eratives La methode de la puissance ´ Lam´ethodedesite´rationsinverses Matrices hermitiennes et syme´ triques

Comment fonctionne Google ? Comment mesurer l’importance d’une page web ? Le mode` le PageRank : marche ale´ atoire sur le web Existence, unicite´ , et calcul de la solution

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§1.

Syst`emesd’´equationslin´eaires Dans la suite nous ﬁxons un corpsK(par exempleQ,R, ouC). Nous souhaitons re´ soudre un line´ airessyste` me quations d’e´: a11x1+a12x2+∙ ∙ ∙+a1nxn=y1 a21x1+a22x2+∙ ∙ ∙+a2nxn=y2

. am1x1+am2x2+∙ ∙ ∙+amnxn=ym

Ici les coefﬁcientsaij∈Ketyi∈Knndontsos.´e L’objectif est de trouver toutes les solutionsxi∈K.

On´ecritcesyste`meplussuccinctementcommeA` x=you aa2111aa2122aa......12nn xx12 yy12  .. . A=am1am2. . . amn, x=x.n, y=y.m.

Cette structuration est bien plus qu’une notation commode : ⇒Programmes = structure de don ´ s + algorithmes ! s nee ⇒ . .Calcul matriciel : addition, multiplication, inverse, de´ terminant, .

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Matricestriangulaireset´echelonn´ees Oncherche`are´soudreunsyst`emed’´equationsline´airesAx=y. SiAesttriangulairefﬁsuertdonemr.teile:atdi´emmtiesnoitulosal, 10∗1∗∗∗∗ 1 0 0 0 100000∗1voireA=100000010010. A= us ge: Pl´ene´ralementlasolutionestfacilesiAest´cenne´ehol 10∗0∗1∗∗∗∗∗∗∗∗ 001∗0100∗∗∗∗00 A 0 0 1= 0∗ ∗ ∗voireA 0 0 1= 0∗ ∗0. 0000000001000000000000100000 Danscetexemplel’´equationAx=yn’a pas de solution siy56= 0. Siy5= 0, les solutionsxtelles queAx=yforment un sous-espace afﬁne deK7de dimension3: on peut choisirx2, x5, x6arbitrairement, les valeursx7, x4, x3, x1s’en de´ duisent en remontant. «Solution ge´ ne´ rale = solution particulie` re + solutions homoge` nes.» §1.1 4/56

§.1

Ope´ rations elementaires ´ ´ Objectif :formsousheloe´ectteremeen´onenuee´nndecirtam a11. . A=.aa1nnm=LL.1m. am.1. . ..

Pour ceci on effectue desaintme´eels´ontiserpoe´arsur les lignes : Li↔Ljerlahang´eceilngiet la lignej, Li←λLimultiplier la ligneipar un facteur inversibleλ, Li←Li+λLjajouter un multiple de la lignejal`neigali.

` Anoterquechacunedecesop´erationsestinversible! Ainsi on les appelle aussitransformations d’e´ quivalence.

Pourr´esoudreAx=ynsiorsup´soatereftceuecnofe(A|y): c’est la matriceAagrandie en accolant le vecteur colonney. Lefaitquenosop´erationstransformant(A|y)en(A0|y0)soient inversiblesgarantitquelessyst`emeslin´eairesAx=yetA0x=y0 ontexactementlesmˆemessolutions.

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