Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre Approximation polynomiale

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Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre 7 : Approximation polynomiale Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009 1/23

approximation polynomiale

norme uniforme

polynomes orthogonaux

methode de calcul efficace

questions d'approximation

retour sur l'interpolation de lagrange theoreme

riche theorie des polynomes orthogonaux

theoreme de weierstrass

interpolation de lagrange

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Math´ematiquesassist´eesparordinateur Chapitre 7 : Approximation polynomiale

Michael Eisermann

Mat249, DLST L2S4, Anne´ e 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Documentmis`ajourle6juillet2009

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Objectifs de ce chapitre Ce chapitre initie aux questions d’approximation d’une fonction continuedonn´eepardespolynoˆmes.C’estunevasteth´eorieque nous n’esquisserons ici que superﬁciellement. Par rapport `a la norme uniforme, nous e´ tudions l’interpolation de Lagrange, qui est analogue a` l’approximation de Taylor. Dans les deuxcasdesph´enome`nesdenon-convergencesontpossibleset doiventˆetreconnus`atitred’avertissement. Fortheureusement,lethe´or`emedeWeierstrassassurequetoute fonction continue f : [ a, b ] → R peuteˆtreuniformementapproch´ee pardespolynˆomes P n , de sorte que k f − P k ∞ → 0 pour n → ∞ . Nous e´ nonc¸ ons ici la formulation constructive due a` Bernstein. Algorithmiquement,lanormequadratiques’av`ereplusavantageuse: elleprovientd’unproduitscalaireetpermetdescalculstr`esefﬁcaces. Nousmentionnonsicilaricheth´eoriedespolynoˆmesorthogonaux. 2/23

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