Mathématiques Appliquées Générales Cours 2: Intégration ...

pages

Français

Documents

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

pages

Français

Ebook

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Publié par

unnu

Nombre de lectures

108

Langue

Français

Poids de l'ouvrage

4 Mo

Mathématiques Appliquées Générales Olivier DAZEL Université du Maine - Faculté des Sciences Laboratoire d'Acoustique de l'Université du Maine UMR CNRS 6613 Cours 2: Intégration, Espaces de Lebesgue 1 UEO AM01A-1

limitation de l'approche de riemann
lebesgue intégrable
riemann
intégrale de lebesgue
faculté des sciences laboratoire d'acoustique de l'université

Voir

Publié par

unnu

Nombre de lectures

108

Langue

Français

Poids de l'ouvrage

4 Mo

UEO AM01A-1
Mathématiques Appliquées Générales
Cours 2: Intégration, Espaces de Lebesgue
Olivier DAZEL
olivier.dazel@univ-lemans.fr
Université du Maine - Faculté des Sciences
Laboratoire d’Acoustique de l’Université du Maine
UMR CNRS 6613
1Une nouvelle intégrale
Limitation de l’approche de Riemann•
Passage à la limite•
Ensembles inﬁnis (intégrales généralisés)•
Espaces de fonctions•
Nouvelle déﬁnition : Principe•
Riemann discrétisait l’ensemble de départ•
Lebesgue: Discrétisation de l’ensemble d’arrivée•
2Intégrale de Riemann: déﬁnition
f d´ eﬁnie sur [a;b]
x =a x x0 =x1 bn−1 nn n
s(f,σ)= h inff(x),S(f,σ)= h supf(x)i i
Ii Iii=1 i=1
f est Riemann-int´egrable sur [a;b]ssi
sup s(f,σ)= inf S(f,σ)
σ∈Sa,bσ∈Sa,b
3Limitations de l’intégrale de Riemann
Déﬁnie sur des intervalles fermés bornés•
Physique: frontière•
ln(x) sur ]0;1] •
21/x sur [1;+∞[ •
Notion d’intégrale généralisée (passage limite)•
Interversion signe somme et limite•
Suite et/ou série de fonction•
b b
lim f (x)dx?=? lim f (x)dxn n n→∞ n→∞a a
Convergence uniforme (lourde)•
4Intégrale de Lebesgue: un nouvel outil
Généralisation de l’intégrale de Riemann•
Toute fonction Lebesgue intégrable est Riemann-•
intégrable
Dans ce cas les intégrales coïncident•
Va déboucher naturellement sur la notion d’espace •
(complet) de fonctions
Ne s’encombrera pas des ensembles «négligeables»•
Frontières•
On pourra naturellement travailler sur des ouverts•
On oubliera la convergence ponctuelle•
On pourra facilement montrer que les fonctions que •
l’on rencontrera en physique sont dans ce cadre
5Sommes de Riemann
f d´ eﬁnie sur [a;b]
δ(σ)= max(x −x )i i−1
i=1..n
c ∈ [x ;x [i i−1 i
x =a x x0 =x1 bn−1 nc c1 n
nb
f(x)dx=lim f(c )(x −x )i i i−1
δ(σ)→0a i=1
6Intégrale de Lebesgue: principe
y∈E
f d´ eﬁnie sur [a;b]
E
a b
Image réciproque F de E

f(x)dµ(x)≈ y×µ(F)
F
Mesure de F
7Parle t’on de la même chose ?
Riemann Lebesgue
1 1
0 0
1 20 1 1 20 1
3 3 3 3
1 2
I=1×µ 0; ;11 1 1 2
3 3I=1× +0× +1× =
3 3 3 3
1 2
+0×µ ;= 3 3
2
=
3
8Mesure sur une tribu
Objectif: Obtenir la taille (Mesurer) d’un ensemble
Application abstraite (déﬁnie sur une tribu) qui vériﬁe
• ∀E∈ τ,µ(E)∈ [0;+∞]
• µ(∅)=0

+∞ +∞
• (∀E,E ∈ τ,E E =∅) µ E = µ(E )i j i j i i
i=1 i=1
Un ensemble n’est pas forcément mesurable•
Un ensemble qui est inclus dans un espace de •
µmesure nulle est dit -négligeable
Une propriété qui est vraie partout sauf sur un •
µensemble négligeable est dite vraie -presque partout
9Mesure de Lebesgue dans R
Tribu de Borel engendré par l’ensemble des ouverts
Mesure de Lebesgue est engendré par une application
sur l’ensemble I des intervalles ouverts
µ :I−→ [0;+∞]
]a;b[→ b−a
Propriété importante: La mesure de Lebesgue des
ensembles au plus dénombrable est nulle
µ({a})= µ(N)= µ(Z)= µ(Q)= ...=0
10