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Math IV : Analyse (version du 12/5/2009) 1 Page-web du cours : http ://math.univ-lyon1.fr/?okra/MathIV-Analyse-2009/ responsable de UE : Olga Kravchenko, bat Braconnier, 102 bis, , Table des matieres 1. Chapitre I. Topologie d'un espace vectoriel reel 2 1.1. Espaces metriques, definition de la distance 2 1.2. Boules ouvertes, fermees. Spheres. Parties bornees 2 1.3. Ouverts et Fermes 3 1.4. Normes des espaces vectoriels 4 2. Chapitre II. Fonctions de plusieurs variables. 5 2.1. Fonctions de plusieurs variables. Graphes. Lignes de niveau. 5 2.2. Notion de la limite 6 2.3. Continuite 7 2.4. Coordonnees polaires 9 2.5. Proprietes des fonctions continues sur un compact 10 2.6. Connexe par arc. Theoreme des valeurs intermediaires 10 3. Chapitre III. Calcul Differentiel 11 3.1. Derivees. Matrice jacobienne. Gradient 11 3.2. Proprietes des derivees partielles. 12 3.3. Derivees partielles d'ordre superieur. Fonctions de classe Ck. Theoreme de Schwarz 13 3.4. Differentielle 13 4. Chapitre IV. Proprietes geometriques des fonctions de plusieures variables 16 4.1. Derivee directionnelle 16 4.2. Gradient. 17 4.3. Formule de Taylor 18 4.4. Vecteur normal et plan tangent a un graphe d'une fonction de 2 variables 20 5.

sphere de centre

??x? ≤

equivalence

relation d'equivalence

proprietes des derivees partielles

boule ouverte

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Math IV : Analyse (version du 12/5/2009)1 Page-web du cours : http ://math.univ-lyon1.fr/∼okra/MathIV-Analyse-2009/ responsabledeUE:OlgaKravchenko,baˆtBraconnier,102bis,0472432789, okra@math.univ-lyon1.fr Tabledesmatie`res 1.ChapitreI.Topologied’unespacevectorielre´el2 1.1.Espacesm´etriques,de´ﬁnitiondeladistance2 1.2.Boulesouvertes,ferm´ees.Sph`eres.Partiesborne´es2 1.3.OuvertsetFerm´es3 1.4. Normes des espaces vectoriels 4 2. Chapitre II. Fonctions de plusieurs variables. 5 2.1. Fonctions de plusieurs variables. Graphes. Lignes de niveau. 5 2.2. Notion de la limite 6 2.3.Continuite´7 2.4.Coordonne´espolaires9 2.5.Propri´et´esdesfonctionscontinuessuruncompact10 2.6.Connexepararc.The´ore`medesvaleursintermediaires10 3. Chapitre III. Calcul Diﬀerentiel 11 3.1.De´rive´es.Matricejacobienne.Gradient11 3.2.Proprie´t´esdesde´riv´eespartielles.12 3.3.Deriv´eespartiellesd’ordresuperieur.FonctionsdeclasseCkT.oe´hme`re de Schwarz 13 3.4.Diﬀe´rentielle13 4.ChapitreIV.Proprie´t´esg´eom´etriquesdesfonctionsdeplusieuresvariables16 4.1.D´eriv´eedirectionnelle16 4.2. Gradient. 17 4.3. Formule de Taylor 18 4.4.Vecteurnormaletplantangenta`ungraphed’unefonctionde2variables20 5. Extrema 22 5.1.Extremalocauxetglobaux.De´ﬁnition22 5.2.The´ore`medesextremasuruncompact22 5.3.Extremadefonctionsde2variables-crit`ereparlede´terminantde matrice Hessienne 23 5.4.Extremali´es25 5.5. Extrema de fonction de n variables 26 6. Chapitre VI. Champs de vecteurs 27 6.1. Deﬁnitions 27 6.2.Gradient.Op´erateurNabla27 6.3. Divergence et Rotationnel 28 6.4.Th´eor`emedePoincare´29 6.5. Calcul du potentiel 29 Re´f´erences29 1.Remerciementsa`YoannPotiron,a`Satia-AudreyGontchoAGontchoet`aGillesMarguinpour les corrections ! 1