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MAT231, Chapitre 4 MAT231 – Chapitre 4 : Algèbre linéaire Université Joseph Fourier – 2008-2009 Pierre Bérard 1/85 MAT231, Chapitre 4 Rappels de première année Applications linéaires, compléments Matrice associée à une application linéaire Changements de base Réduction des endomorphismes, I Groupe des permutations Formes multi-linéaires Déterminant Déterminant d'un endomorphisme Calcul des déterminants Réduction des endomorphismes, II 2/85
Voir
- famille
- groupe de permutations
- changements de base
- dimension
- corps commutatif
- combinaison linéaire
- famille libre
MAT231, Chapitre 4
MAT231, Chapitre 4
MAT231 – Chapitre 4 : Algèbre linéaire Université Joseph Fourier – 2008-2009
Pierre Bérard
Rappels de première année Applications linéaires, compléments Matrice associée à une application linéaire Changements de base Réduction des endomorphismes, I Groupe des permutations Formes multi-linéaires Déterminant Déterminant d’un endomorphisme Calcul des déterminants Réduction des endomorphismes, II
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Chapitre 4, Algèbre linéaire
Dans tout ce chapitre,KdésigneRouC.
MAT231, Chapitre 4 Rappels de première année
Rappels de première année
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Définition (Espace vectoriel) SoitKun corps commutatif. Unespace vectorielsur le corpsKest la donnée d’un groupe commutatif(E+), dont l’élément neutre ’ est noté 0E, et d une action deKsurE,∙:K×E→E, (λx)7→λ∙x(ou plus simplementλx) telle que Ipour tousα β∈Ketx∈E,(α+β)∙x=α∙x+β∙x, Ipour tousα∈Ketxy∈E,α∙(x+y) =α∙x+α∙y, Ipour tousα β∈Ketx∈E,(αβ)∙x=α∙(β∙x), Ipour toutx∈E, 1K∙x=x.
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Exemples I’LneesbmelRn, muni des opérations usuelles, l’addition des vecteurs et la multiplication des vecteurs par un scalaire, est un espace vectoriel surR. Iblemns’eLeCn, muni des opérations usuelles, l’addition des vecteurs et la multiplication des vecteurs par un scalaire, est un espace vectoriel surC. Ilebmesne’LMmn(R)des matrices àmlignes etncolonnes, muni des opérations usuelles, addition des matrices et multiplication d’une matrice par un scalaire, est un espace vectoriel surR.
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Définition On appellecombinaison linéairede vecteurs deEtoute somme (finie) de la formeα1u1+∙ ∙ ∙+αkukoù lesαjsont des éléments deKet où lesujsont des éléments deE. Définition On dit qu’une famille{uj}j∈Ide vecteurs deEest unefamille génératricesi tout élément deEpeut s’écrire comme combinaison linéaire (finie) d’éléments de la famille{uj}j∈I.
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Définition On dit qu’une famille{uj}j∈Ide vecteurs deEest unefamille libre si, pour tout sous-ensemble finiJ ⊂ I, l’égalitéPj∈Jαjuj=0 implique queαj=0 pour toutj∈ J.
Définition On dit qu’une famille de vecteurs deEest unebasedeEsi elle est libre et génératrice.
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Exemples ILa famillee1:= (10 0) en:= (0 01)est une famille libre et génératrice deRn. C’est une base deRn. ILa famille{1XX2 }est une base de l’espace vectoriel sur C[X]des polynômes à coefficients complexes. ILa famille{eikx}k∈Zest une famille libre dans l’espace vectoriel surCdes fonctions continues deRdansC. Elle n’est pas génératrice.
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