Les mesures de Hausdorff

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CHAPITRE V Les mesures de Hausdorff Dans ce chapitre, nous etudions les mesures de Hausdorff, qui generalisent la mesure de Lebesgue. Il est utile, dans de nombreux domaines des mathematiques, d'etre un tant soit peu familier avec ces mesures, meme si elles n'ont pas la meme importance pratique que la mesure de Lebesgue. V-1. Motivations La theorie des mesures de Hausdorff est nee une quinzaine d'annees apres celle de la mesure de Lebesgue, et fut developpee principalement par Besicovich pendant les quarante annees qui ont suivi. Elle repondait a plusieurs motivations. V-1.1. Mesures d'objets de dimension inferieures. Plac¸ons-nous en di- mension 3 pour simplifier la discussion. La mesure de Lebesgue ?3 permet d'attri- buer a toutes les parties (mesurables) de R3 un “volume” ; mais dans de nombreux problemes on a besoin de definir l'aire d'une surface, ou la longueur d'une courbe tracee dans R3. La mesure de Lebesgue de tels objets est bien sur nulle, ce qui suggere l'introduction de nouvelles mesures pour definir les concepts d'“aire” ou de “longueur” de parties de R3. Bien sur, on s'attend a ce que l'aire d'un objet soit infinie si son volume est non nul, de sorte que ces nouvelles mesures seraient interessantes uniquement quand on les appliquerait a des ensembles Lebesgue-negligeables.

besicovich pendant les quarante annees

changement de variable polaire

dimension

chapitre precedent des formules

espace metrique

formule correspondante

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Chapitre 5

Martingales,arbitrageetcompl´etude

1 Lanotiondemartingalejoueaujourd’huiunroˆlecentralenﬁnancemathe´matique;ellee´taitde´ja pr´esentedanslath`esedeLouisBachelieren1900maisellen’acommence´a`eˆtre´etudi´eesyst´ematiquement parlesmathe´maticiensquevers1940,notammentparP.LevyetJ.L.Doob,etplustardparl’e´colede probabilit´esdeStrasbourg,notammentP.A.Meyer.Cen’estqu’a`laﬁndesanne´es70etaude´butdes anne´es80(dansuns´eriesd’articlesdeM.J.Harrison,D.M.KrepsetS.R.Pliska)quel’onacommence´ `acomprendrelesliensentrelesnotions´economiquesouﬁnancie`resd’absenced’oportunite´d’arbitrageet decompl´etudedumarche´etlanotionmath´ematiquedemartingale.Cesontcesliensquenouse´tudions icia`traversnotammentdeuxr´esultatsimportantsparfoisappel´eslesdeuxthe´ore`mesfondamentauxde laﬁnancemath´ematique.

5.1 Martingales Intuitivement,unemartingaleestunemarcheale´atoiren’ayantnitendancehaussi`erenitendance baissie`re,savaleura`chaqueinstant´etant´egalea`l’espe´rancedesesvaleursfutures.Onutilisedes marchesale´atoiresayantcettepropri´et´epourmod´eliserleprixdesactifsﬁnancierscarunprixdemarch´e estunnombresurlequeldeuxparties,cellequiache`teetcellequivend,tombentd’accord;sileprix avaitunetendance`alahausse,levendeurn’auraitpasaccept´elatransactionetinversements’ilavait unetendancea`labaissec’estl’acheteurquil’auraitrefuse´.Doncilestnatureldesupposerqu’unfair-pricene’naleC.elagnitaremedt´´eriopprirpeenavrpxieuelentqllemnenutraiatacsaes,rlnolte´’aal dumondequiser´ealise,ilaugmenteeﬀectivementoubiendiminue.Maislorsquel’onprendencompte l’ensembledes´etatsdumondepossibles,ilestraisonnabledesupposerquesavariationespe´re´eestnulle. Biensˆur,lesve´ritablesvariationsduprixquiinterviendrontdanslare´alite´,etquide´pendentdel’e´tatdu monde,serontcertainementnonnulles.D’ailleurs,c’estparcequelesdeuxpartiesn’ontpaslesmˆemes anticipationssurl’e´tatdumondequivaser´ealiserquelatransactionalieu. De´ﬁnition:Soit (Ω,T, Pnu)apseeistiotilis´eﬁnceprobabF:= (Ftﬁltration de Ω. On dit) une t∈T qu’unemarcheale´atoireM:= ( Mt)t∈[0.tuneF-martingale(mtg) siet seulement si .T]δest pour touss≤t,Ms=E(Mt|Fs).(5.1)

Observonsqu’ilre´sultedelad´eﬁnitiondel’esp´eranceconditionnellequ’uneF-martingale est toujours unemarcheal´eatoireFtoutuq,eopru`--aider´tpada-tse’c,eet, la v.a.MtestFt-mesurable. Lapropositionsuivantedonnetroisautrescaract´erisationsdelaproprie´te´demartingale,souvent utiles,quide´coulent´egalementdespropri´et´esdel’esp´eranceconditionnelle.OnutiliselanotationEsX:= E(X|Fs). Proposition 5.1´te´usserpseirpot´onuieqanivssteaveltnseL 1.Mest une martingale. 2. Pourtouts∈T,Ms=Es(Ms+δt). 3. Pourtouts∈T,Es(δMs+δt) = 0u,o`δMs+δt:=Ms+δt−Ms. 4. Pourtouts≤tdansT,Es(Mt−Ms) = 0.

1 Voir le livre de Nicolas Bouleau,rahce´ﬁsancneisrMartingalesetm, Editions Odile Jacob, 1998 23

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