LA FILTRATION CANONIQUE DES POINTS DE TORSION DES GROUPES p DIVISIBLES

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01 octobre 2011

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LA FILTRATION CANONIQUE DES POINTS DE TORSION DES GROUPES p-DIVISIBLES LAURENT FARGUES AVEC LA COLLABORATION DE YICHAO TIAN Resume. Etant donne un entier n ≥ 1 et un groupe de Barsotti-Tate tronque d'echelon n et de dimension d sur un anneau de valuation d'inegales caracteristiques, nous donnons une borne explicite sur son invariant de Hasse qui implique que sa filtration de Harder-Narasimhan possede un sous-groupe libre de rang d. Lorsque n = 1 nous redemontrons egalement le theoreme d'Abbes-Mokrane ([1]) et de Tian ([37]) par des methodes locales. On applique cela aux familles p-adiques de tels objets et en particulier a certaines varietes de Shimura de type PEL afin de montrer l'existence de familles compatibles de sections de certaines correspondances de Hecke sur des voisinages tubulaires explicites du lieu ordinaire. Abstract. Given an integer n ≥ 1 and a truncated Barsotti-Tate group of level n and dimension d over an unequal characteristic valuation ring, we give an explicit bound on its Hasse invariant so that its Harder-Narasimhan filtration has a break which is free of rank d. When n = 1 we also give a local proof of the Abbes-Mokrane ([1]) and Tian ([37]) theorem. We apply this to p-adic families of such objects and in particular prove the existence of compatible families of sections of some Hecke correspondences on explicit tubular neighborhood of the ordinary locus in some PEL type Shimura varieties.

filtration de harder-narasimhan

invariant de hasse

yy yy

filtration

ee ee

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LAFILTRATIONCANONIQUEDESPOINTSDETORSIONDESGROUPES
p
-DIVISIBLES

LAURENTFARGUES
AVECLACOLLABORATIONDEYICHAOTIAN

Re´sume´.
E´tantdonne´unentier
n
≥
1etungroupedeBarsotti-Tatetronque´d’e´chelon
n
etdedimension
d
surunanneaudevaluationd’ine´galescaracte´ristiques,nousdonnonsune
borneexplicitesursoninvariantdeHassequiimpliquequesaﬁltrationdeHarder-Narasimhan
posse`deunsous-groupelibrederang
d
.Lorsque
n
=1nousrede´montronse´galementlethe´ore`me
d’Abbes-Mokrane([1])etdeTian([37])pardesme´thodeslocales.Onappliquecelaauxfamilles
p
-adiquesdetelsobjetsetenparticuliera`certainesvarie´te´sdeShimuradetypePELaﬁnde
montrerl’existencedefamillescompatiblesdesectionsdecertainescorrespondancesdeHecke
surdesvoisinagestubulairesexplicitesdulieuordinaire.

Abstract.
Givenaninteger
n
≥
1andatruncatedBarsotti-Tategroupoflevel
n
anddimension
d
overanunequalcharacteristicvaluationring,wegiveanexplicitboundonitsHasseinvariant
sothatitsHarder-Narasimhanﬁltrationhasabreakwhichisfreeofrank
d
.When
n
=1we
alsogivealocalproofoftheAbbes-Mokrane([1])andTian([37])theorem.Weapplythisto
p
-adicfamiliesofsuchobjectsandinparticularprovetheexistenceofcompatiblefamiliesof
sectionsofsomeHeckecorrespondencesonexplicittubularneighborhoodoftheordinarylocus
insomePELtypeShimuravarieties.
1.
Introduction
1.1.
Soit
p
unnombrepremier.Soit
K
uneextensionvalue´ecomple`tede
Q
p
devaluationdiscre`te
et
A
unsche´maabe´liendedimension
g
sur
O
K
.Si
A
are´ductionordinairesurlecorpsre´siduel
de
K
et
n
≥
1estunnombreentier,lespointsde
p
n
-torsionde
A
sontmunisd’uneﬁltration
canonique
0
−→
A
[
p
n
]
0
−→
A
[
p
n
]
−→
A
[
p
n
]
e´t
−→
0
ou`
A
[
p
n
]
0
estunsche´maengroupesdetypemultiplicatifd’ordre
p
ng
et
A
[
p
n
]
e´t
este´taledumeˆme
ordre.Soit
S
ord
lelieuforme´despointsa`bonnere´ductionordinairedansl’espaceanalytiquerigide
p
-adique
S
associe´auxvarie´te´sdeSiegeldeniveaupremiera`
p
.C’estunouvertadmissibleausens
delage´ome´trierigidequel’onpeutvoircommeletubeaudessusdel’ouvertd’ordinarite´dela
re´ductionmodulo
p
desmode`lesentierscanoniquesdecesvarie´te´s.Soit
S
P
n
−→S
lereveˆtement
e´taleﬁniassocie´ausous-groupedecongruence
∗∗P
n
=
x
∈
GSp
2
g
(
Z
p
)
|
x
≡
mod
p
n
,
∗0lesblocsdelamatricepre´ce´dentee´tantdetaille
g
×
g
.Surlelieuordinaire,lesﬁltrationpre´ce´dentes
semettentenfamilleetfournissentunesectiondureveˆtement
S
P
n
→S
.Lorsque
n
varie,ces
ﬁltrationsve´riﬁentcertainesrelationsdecompatibilite´.
Surlare´ductionmodulo
p
desvarie´te´sdeSiegel,ilyauneformeautomorphealge´briquede
poids
p
−
1.Savaluationde´ﬁnitunefonction
≪
invariantdeHasse
≫
Ha:
S−→
[0
,
1]
.
Date
:20octobre2011.
2010
MathematicsSubjectClassiﬁcation.
14K02,14K10,14L05,11F33.
Keywordsandphrases.
Groupesp-divisibles,p-divisiblegroups,varie´te´sdeShimura,Shimuravarieties.
1

2LAURENTFARGUES
1−Deplus,lelieud’ordinarite´de
S
estexactementlelieuHa(
{
0
}
).Seposealorslaquestionde
savoirsil’onpeute´tendrepourun
n
donne´lasectioncanoniquepre´ce´dentesurunvoisinagetu-
bulaireHa
−
1
([0
,ǫ
n
[)de
S
ord
pourun
ǫ
n
∈
Q
>
0
quel’onaimeraitpouvoircontroˆler.Laquestion
pre´ce´dentes’e´tendenunproble`meplusge´ne´ralconcernantlesgroupesdeBarsotti-Tatetronque´s
(pourl’e´tudedumeˆmeproble`medanslecasdesvarie´te´sdeShimuraautresquelesvarie´te´sde
Siegel,lecasdespointsdetorsiondessche´masabe´liensestinsuﬃsant).
Lecasdescourbeselliptiquesae´te´comple`tementre´soluparKatz([25])etLubin([30]).Dans
l’article[1]AbbesetMokraneontre´solulecasdesvarie´te´sabe´liennesdedimensionge´ne´rale
lorsque
n
=1,c’est-a`-direlecasdespointsde
p
-torsion.Ilsutilisentpourcelaladescription
donne´eparBlochetKatodescyclese´vanescents
p
-adiquessurlesvarie´te´sprojectiveslissesayant
bonnere´duction,couple´ea`lathe´oriedelaramiﬁcationde´veloppe´eparAbbesetSaitodans[2].
Dansl’article[37],Tianae´tendulere´sultatd’Abbes-MokraneaucasdesgroupesdeBarsotti-Tate
tronque´sd’e´chelon1.Ilfaitusagepourceladere´solutionsdetelsgroupespardessche´masabe´liens
etdesre´sultatsdeBloch-Katosurlescyclese´vanescents
p
-adiquesassocie´s.Dansl’article[3]
AndreattaetGasbarriontretrouve´lere´sultatd’Abbes-Mokranepard’autresme´thodesglobales,
c’est-a`-direfaisantintervenirdessche´masabe´liens.Conradamontre´dans[10]lasurconvergence
enge´ne´ralpourlespointsde
p
n
-torsiondessche´masabe´lienspourtout
n
maissansborneexplicite.
Lecasdesvarie´te´smodulairesdeHilbertae´te´e´tudie´ende´tailsdans[26],[21]et[22].Notons
enﬁnquedans[32],desre´sultatssurlessous-groupescanoniquesdeniveauquelconqueonte´te´
obtenuspasdesme´thodescomple`tementdiﬀe´rentes.Cesre´sultatsconcernentd’autresﬁltrations
dessche´masengroupesﬁnisetplatsquecellesquenousutilisons(cesﬁltrationsinterviennent
toutdemeˆmedanslasection3ou`nouslesappelonsﬁltrationsderamiﬁcationinfe´rieurenaı¨ves,
maisuniquementcommeinterme´diairepourene´tudierd’autres).
1.2.
Nouscommenc¸onstoutd’abordparrede´montrerlethe´ore`med’Abbes-MokraneetTianpar
desme´thodeslocalesnefaisantpasintervenirdesche´masabe´liens(cependantcontrairementa`
AbbesetMokrane,nousnetraitonspasdanscetextelecasdessche´massemi-abe´liens).Nous
pre´cisonse´galementlecomportementdeleursﬁltrationsvis-a`-visdeladualite´etdoncdespo-
larisations.Voicilethe´ore`mede´montre´danslasection6.Onﬁxeuneextensionvalue´ecomple`te
K
|
Q
p
pourunevaluationa`valeursdans
R
.Onsupposedeplusque
p
6
=2
,
3danslerestedecette
introduction.
The´ore`me
(The´ore`me4point(2)etCorollaire2)
.
Soit
G
ungroupedeBarsotti-Tatetronque´
d’e´chelon
1
,dehauteur
h
etdedimension
d<h
sur
O
K
.Soit
(
G
λ
AS
)
λ>
0
laﬁltrationd’Abbes-Saito
1de
G
.SupposonsquesoninvariantdeHasse
w
∈
[0
,
1]
soitstrictementpluspetitque
2
.Alors
pλwpour
p
−
1
≤
λ<
p
−
1
(1
−
w
)
legroupe
G
AS
estderang
d
,inde´pendantde
λ
.Ilenestdemeˆme
de
G
D
,laﬁltratione´tantalorsderang
h
−
d
.Pour
λ
commepre´ce´demment,vial’accouplement
G
(
O
K
)
×
G
D
(
O
K
)
→
F
p
(1)
,onal’e´galite´
(
G
D
)
λ
AS
(
O
K
)
⊥
=
G
λ
AS
(
O
K
)
.
Lade´monstrationdecethe´ore`mefaitintervenirunee´tudeﬁnedel’applicationdeHodge-Tate
dessche´masengroupesﬁnisetplatssur
O
K
.Danslasection6nousde´montronsd’autresre´sultats
concernantcetteapplicationquisontutilesdanslasuite,notammentlere´sultatsuivant.
The´ore`me
(The´ore`me4point(3))
.
Sousleshypothe`sesduthe´ore`mepre´ce´dentlare´ductiondu
cranderang
d
delaﬁltrationde
G
modulolese´le´mentsde
O
K
devaluationsupe´rieureoue´gale
a`
1
−
w
coı¨ncideaveclenoyaudumorphismedeFrobeniusdelare´ductionde
G
.
L’undesre´sultats-clefspourlasuiteeste´galementlethe´ore`mesuivant(quidenotreav

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