Jean Philippe Anker

Claire Anantharaman
Jean-Philippe Anker
Martine Babillot
Aline Bonami
Bruno Demange
Sandrine Grellier
Fran¸cois Havard
Philippe Jaming
Emmanuel Lesigne
Patrick Maheux
Jean-Pierre Otal
Barbara Schapira
Jean-Pierre Schreiber
´ `THEOREMES ERGODIQUES POUR
LES ACTIONS DE GROUPES`TABLE DES MATIERES
Pr´eface ........................................................................ 1
Introduction .................................................................. 3
1. Principes de d´emonstrations d’un th´eor`eme ergodique .............. 11
1.1. Le th´eor`eme de von Neumann .......................................... 12
1.2. In´egalit´es maximales et principe de Banach ............................ 16
1.3. Les th´eor`emes ergodiques de Birkhoff et de Hopf-Dunford-Schwartz .. . . 20
2. Th´eor`emes g´en´eraux pour les groupes moyennables ................ 27
2.1. Groupes moyennables .................................................. 28
2.2. Th´eor`emes ergodiques pour les suites de Følner ........................ 33
2.3. Le principe de transfert ................................................ 39
3. In´egalit´es maximales et lemmes de recouvrement .................... 43
d3.1. Moyennes sur les boules de . .......................................... 44
3.2. Mesures doublantes et non doublantes .................................. 47
3.3. Suites doublantes d’un groupe .......................................... 56
3.4. Suites temp´er´ees ........................................................ 60
4. Un exemple: le groupe des affinit´es .................................... 75
4.1. Structure du groupe des affinit´es ........................................ 76
4.2. Suites de Følner dans le groupe des affinit´es ............................ 78
4.3. In´egalit´es maximales pour les boules hyperboliques .................... 82
4.4. In´egalit´es maximales pour d’autres sous-ensembles ...................... 88
4.5. Un th´eor`eme ergodique sur le groupe S ................................ 96d
5. Moyennes sph´eriques .................................................... 99
d5.1. In´egalit´es maximales pour les sph`eres de ............................100
d5.2. In´egalit´es maximales pour les sph`eres de ............................113
6. Th´eor`emes ergodiques pour une action d’un groupe libre ..........133
RRZ`iv TABLE DES MATIERES
6.1. Actions par isom´etries sur un espace m´etrique compact ................135
26.2. Th´eor`emes ergodiques en moyenne dans L ............................137
26.3. In´egalit´es maximales et th´eor`emes ergodiques ponctuels dans L ........144
p6.4. In´egalit´es maximales et th´eor`emes ergodiques dans L . ................151
6.5. Le th´eor`eme de Bufetov ................................................160
o7. Th´eor`emes ergodiques pour SO (d,1). ................................163
27.1. Th´eor`eme ergodique en moyenne dans L ..............................165
27.2. In´egalit´es maximales et th´eor`eme ergodique ponctuel dans L ..........170
p7.3. In´egalit´es maximales et th´eor`emes ergodiques dans L ..................176
7.4. Estimations des fonctions sph´eriques ....................................182
Postface ......................................................................187
A.R´egularit´edesrepr´esentationsetmesurabilit´edesfonctionsmaximales
..............................................................................191
A.1. Repr´esentations de G et deM(G) ......................................191
A.2. Mesurabilit´e des fonctions maximales ..................................194
´B. El´ements de th´eorie spectrale ..........................................197
∗B.1. C -alg`ebres commutatives ..............................................197
B.2. Le th´eor`eme spectral ..................................................198
C. Th´eor`eme de Rota pour une suite d’op´erateurs de Markov ........203
D. L’espace hyperbolique ..................................................209
D.1. Les diff´erents mod`eles ..................................................209
d+1D.2. Isom´etries de ....................................................211
D.3. Quelques formules ......................................................213
Bibliographie ................................................................215
Index ..........................................................................227
H´PREFACE
Celivreestissud’uns´eminairequis’esttenupendantplusieursann´eesa`l’universit´e
d’Orl´eans. Martine Babillot est `a l’origine de ce travail collectif. Son objectif ´etait
de rassembler autour de ce projet, coll`egues et ´etudiants en th`ese, en faisant interagir
leurs comp´etences compl´ementaires. De fait, le sujet ´etudi´e, par sa richesse et sa
diversit´e, se prˆete particuli`erement bien `a la collaboration d’analystes de cultures
diff´erentes.
Amos Nevo, qui a beaucoup contribu´e `a l’impressionnant d´eveloppement de la
th´eorie ergodique des actions de groupes, a fait plusieurs s´ejours a` Orl´eans. Son aide
a ´et´e pr´ecieuse et nous l’en remercions ici.
Au moment de la disparition de Martine Babillot, la r´edaction de cet ouvrage
´etait d´eja` bien entam´ee. Elle a ´et´e poursuivie ensuite, malheureusement `a un rythme
beaucoup moins soutenu, l’absence de l’enthousiasme communicatif de Martine se
faisant bien suˆr ressentir. Nous lui d´edions ce livre. Sans elle, il n’aurait pas exist´e.
Orl´eans, Janvier 2009INTRODUCTION
`A la suite des travaux de pr´ecurseurs comme H. Poincar´e, la th´eorie ergodique des
syst`emes dynamiques est n´ee vers 1930 avec les th´eor`emes de J. von Neumann et
de G. D. Birkhoff, qui donn`erent un cadre math´ematique rigoureux pour expliquer
l’hypoth`ese d’ergodicit´e en m´ecanique statistique. Cette hypoth`ese, formul´ee par
L.BoltzmannetJ.W.Gibbs,affirmeque,dansl’´evolutiond’unsyst`emedeparticules,
presque toutes les trajectoires s’´equir´epartissent sur les surfaces d’´energie constante
dans l’espace des phases.
La th´eorie ergodique s’est beaucoup d´evelopp´ee et interagit avec de nombreuses
branches des math´ematiques, comme la th´eorie des probabilit´es, l’analyse fonction-
nelle,lath´eoriedesnombres,lag´eom´etrieetlatopologiediff´erentielle. Nousmettrons
icienavantsesliensaveclath´eoriedesgroupeset,autraversdesin´egalit´esmaximales,
avec l’analyse fine.
L’objet de la th´eorie ergodique est l’´etude des syst`emes dynamiques du point de
vue de la th´eorie de la mesure. Un syst`eme dynamique mesur´e est un espace mesur´e
(X,B,m) muni d’une transformation τ (ou d’un semi-groupe un param`etre (τ ) )t t≥0
quipr´eservelamesurem. Leplussouventlamesuremestuneprobabilit´e. Enth´eorie
ergodiqueons’int´eressea`ladescriptiondespropri´et´esstatistiquesdestrajectoiresdes
pointssousl’it´erationdelatransformationeton´etablituneclassificationdessyst`emes
dynamiques mesur´es.
Un point de d´epart de l’´etude de ces propri´et´es est l’´etablissement de th´eor`emes
ergodiques, qui d´ecrivent le comportement asymptotique des moyennes “temporelles”
n−1X1 kA f(x)= f(τ x),n
n
k=0
ou` f est une fonction mesurable surX, a` valeurs r´eelles. Parmi les premiers r´esultats
th´eoriques importants figurent, comme nous l’avons dit, ceux de von Neumann et de
Birkhoff. Pour une fonctionf de carr´e int´egrable, von Neumann a montr´e que (A f)n
converge en moyenne quadratique vers une fonction laiss´ee invariante par τ, tandis4 INTRODUCTION
queBirkhoffa, desoncˆot´e,´etabliunth´eor`emedeconvergencepresquepartout. Dans
lecasou` lesyst`emedynamiqueposs`edelapropri´et´ed’irr´eductibilit´enaturelleappel´ee
ergodicit´e, la limite de la suite (A f) est la valeur moyenne de la fonction f pour lan
probabilit´e m : le th´eor`eme ergodique donne ainsi une description math´ematique
de l’hypoth`ese ergodique, c’est-`a-dire la co¨ıncidence entre moyennes spatiale et tem-
porelle, quand le temps est grand. Les lois des grands nombres du Calcul des Proba-
(1)bilit´es sont des cas particuliers de th´eor`emes ergodiques.
La transformationτ de l’espace (X,B,m) d´efinit une action du semi-groupe par
n(n,x)∈ ×X 7→nx =τ x. Quand la transformation est inversible, elle d´efinit une
action du groupe . Dans le pr´esent ouvrage, nous nous int´eressons principalement
aux extensions des th´eor`emes ergodiques dans le cadre plus g´en´eral d’une action de
groupe. Pour pouvoir ´enoncer l’analogue des deux th´eor`emes ergodiques, de Birkhoff
et von Neumann, il nous faut introduire l’analogue des moyennes temporelles qui y
1interviennent. Si μ est une mesure de probabilit´e sur G et si f ∈ L (X,m), nous
d