Introduction la théorie de la di usion

~x =~x ~x2 1
V (~x ~x )2 1
3~x ;~x 2R V1 2
j~x ~xj2 1

1
V (~x) =o
j~xj
qu'ilpagedeswoseeb.cRemarques?sa?nergieNoter:quesuppengrandanglai2sparticuleslaendth?oriemath?matiquedeMQlapdiusionestsemomenditpr?ciselascatteringspintheory.en(Enianglais,tielleleptermegeometricdiusionetestFitzpatricr?servhap.8.?incomplet.p1ourpleort?e.ph?nomou?neestdequediusionlade7laencculeshaleOnurl'in,lesquid?cestparcompl?temeno-tneautredecrelativhose).particulessurR.Concernaneb.tdonclasurdiusionRicd'uneo?onde[CBF]sur:untcristaldes(p2.otenquetieltielpcourte?rioquidique),nonsiparleouraussicdevdiractionyp.CeConcernanth?oriettroedencollisionctreoreparti-plussanssp.?ciquemensupptqueuneteractionondetreplanedeuxdius?eestsurruntepuneotenptieltenconstanquitd?pparquemorceauxla(exosition:elumi?re2surscatteringuneMelroseplaque:d'indiceRefdi?renwt),estonnot?eparleled'ondekr??chardhiedeetder?fract?e.CoursR?exioncethap.13,r?fraction[BC89].R?f?rences7.1sonInlestroositionsductionparticulesLaetth?orieOndeose[Mel95],letheoryoten275tr?s???tudierplaCecollisionsignieenesttreul2faibleoutplusieursleparticules.pPhapitreourestleOnmomenerratl'h,oth?senousestallonsdiusion?tudierdelelacasductionleInplusChapitresimplela(7.1)diusionconsiste~x :=~x ~x2 1
m m1 2m :=
m +m1 2
2p~^H = +V (~x)
2m
m m1 2
1~X = (m ~x +m ~x )’~x ~x1 1 2 2 1 1m +m1 2
~x = 0 ~x (t) =~x ~x =~x1 2 1 2
2em’m V (~x) =1 4"j~xj0
V (~x)
oursurDansuniprotontre(lourd),arondearelatifl'?tudeneDansquanDIFFUSIONd?crireLAotenDEde,pdoncceler?f?rencenvitetreoth?sedesonmasseleTH?ORIEusioLAte?relatifODUCTION((l?est?lectroncasd'untieldiusionemenlaetINTRdu7.dansourpasCHAPITREl'inni276l'hpEnelesexempld?critesarondes,Pconsistedudipd'unerobl?cmele?emendeuxceluicorpsl'?lectronestlaplac?aect?sur).leceprotonleisol?s,otenexerciceest22tquimouvpagequeger)massedetcenimmobiletielenle223,(maisnd?croitousassezalors?estp,satisfaireetyple(7.1)).mouvm?caniqueementique,tparticulesrelatiftHamiltonienpLedes.doncaprobl?mev?onslavuqu'inlondesutndeidend?crireparlepmouvtielr?duitetmassed?critest.quasimenF (K;;’)
f (k;;’)
E
~x (r;;’)
2 2~ k (~x) E =
2m
^H =E r =j~xj 1

ikr +ikre e 1
(~x) = a (;’) +a (;’) +o ; r =j~xj;+
r r r| {z } | {z }
Ondespher iqueentrante Ondesph:sortante
a (;’)
1o 1=r
r
r!1
a (;’)
r =j~xj 1
V (~x)! 0
2 2p~ ~^ ^H’H = = 0
2m 2m
2 2 2~ ~ k 2^H =E , = , = k 0
2m 2m
ation.ondescritstationnairesad'?nergieette,.entr(vdiusion.oirouaussiloinMelroseet[Mel95]impLemmees1.2,vite)s'appOnradial.vsph?riquesaexputiliseros?lesdescovordonn?esd'sph?riquesel?anfonctionssuivysiciositiond?proppLapremiersdiusionsph?riquedeleAmplitudede7.2amplitudeste.et.Eq.(7.2)).Propysiqueositioncollision,32.BeaucoupSis'appronfaiteincideondonded'unedonn?et,ladonneestDIFFUSIONuneamplitudesondesontstationnairvariableseetlibrlesetermed'?neroitgie2011decettepartirLes?dedius?e,tondetrantetes,osantcompapp,pr?cis?menc'estde?desdirtranetes.v?riantelaourd'exprimertseradeelieutiellaessen?rience,dealorslequestionpar(7.3)?tudianLaparticules.quanstationnairedudiusionestlalibre.delath?orieord,el?ear(c'estte,?estdirAMPLITUDEeesensph?riqueschampante/sortantelointaindesdes),angulairappseulement,s'?enscritphded?fa?onununiquequi:crstationnaires,plussolutionsquedesann?el'?tudeour?Enrestreindre.nousdeuxonstermesall(7.2)Nousellenmple.ondesexeenpartessonsortan-ducaroucouranlumi?re,estlaNousdeeleronsdiusiontlaplusourcollision,plesdoncasymptotiquess'adapteondesElleeng?n?ral.tesensortand'ondesD?monstrdiusion(PreuvladeourPp?riencesalabledesvsonestpht,idusudequionth?oriesuppLasL.H.C.d'expaucollision.collisioncessusdedonccessusHamiltonienproximelesprodanstHiggsendes'estBosondesdutiqueattendueetmtanerteertequivceluid?cou-particulelaOneaucoupd?cou-bnethistoriquemen(7.2)abo?toutnuecrortandescriptiontr?sdescollisionsL'?tude?desesp277particulesDEdes7.2.apppour~x (r;;’)

2 2@ 2@ 1 1 @ @ 1 @
= + + sin +
22 2 2@r r @r r sin@ @ @’sin
(r;;’) =R (r)a (;’)

2d R 2dR 1
2 = + a +O = k Ra
2 2dr r dr r

2d R 2dR 12, + = k R +O
2 2dr r dr r

2d (rR) 12, = k (rR) +O
2dr r

ikr 1rR (r) =e +O
r

ikre 1
R (r) = +O
2r r
2 2 2@ @ @ = + +2 2 2@x @y @z
p:~~x ~i ik~x 3~~ (~x) =e =e ; p~ =~k2R ;p~
^H0
2 2 2p~ ~ k^H =E ; E = = :0 p~ p~
2m 2m
2 3L (R )
E p
3p~2R jp~j = 2mE
E EE
EE

E z
V
=
= 0
tDIFFUSIONseLAourDEeTH?ORIEuneEnconsid?ronscospLALe?el?eODUCTIONL'?critureINTRAn7.uneorddodirendonne:treplanesind?pCHAPITREtesondesbaseles?critureconsid?rerl'espace278ulede,quirsonlatplanefonctionsparticulepropressansdeositionnatureleesttilen:laetsortan,dansn?enesMaissph?riquespas,estleg?n?raleLaplacienondes'?critsoit(vlaoirtecoursourdecasmath?matiquesplanedeieM1[Ftau10b]).deSiUneonorr?c?rc'ests'?crituneLaplacienotenleLacart?siennes,ansd?compdonn?eondes?nergiesuettformenltteunetbaseuxdequel'espace(aussiquantransmise)tiquedirectionrplanesoformecobase.Encettein'est(*)unique.(d'apr?s(7.2)launeth?orieasymptotiquedeplaunetransform?edansdeetF.ourier).d'illustrerLeformsppr?c?denectre(7.2),estpd?g?n?r?,carle?particulieruneonde?nergied'?ne:gdonn?e,acorresppropageanondendanstdirectiontoutesl'axeRemarque..onden'estc?tonnanetond,une(7.3)libredonne?Cette?estsituationsurplatielsph?re.deproprasuivyteonsa?quationositiondundeuxi?mesph?riques.ordrer?estlcelleadmoneque.'ondeL'espacetranpropreviend'?nergieuniquemenl'oscilldenot?directionateursolutionsharmoniqueetestl'ondedonctedeappdimensioondenpartinnielaetendancesondeslesCelaondespasplanest.t.q.F (K;;’)
z

+ikr ikre e 1ikze =a () +a () +o
r r r
(2)
a () = ( );
k
( 2)
a () = ():+
k

^ ^V H =H a a0 +
^a = Pa+

2 2^ ^P :C (S )!C (S ) Pa (;’) =a (P (;’))
P : (;’)! ( ;’ +)
ikza () ’ e
z
z =r cos
ikz ikr cose =e
i’()r r 1 e
0’ () = kr cos ’ () = kr sin = 0;
r 1 = 0;
i’()e
1 = 0; o NNr
ikze = 0;
= 0; (;’)
(x;~ y~) x~ := x=r = sin cos’ y~ = y=r = sin sin’
(x;~ y~) = (0; 0)
ikz i’e ’e
1=21=22 2 2 2 ~2’ =kz =k r x y =kr 1 x~ y

1 12 2 2~2’kr 1 x~ y +o x~ ;y~
2 2
prs'agitRemarquerd'unesfonctionalement,del'opla(7.4)formeccauDIFFUSION,DEtr?sAMPLITUDEdeux7.2.coats,vestecorunedephase(ienarexpressionelcetteloinsimplierici?crirhed?crithercsph?riquescdeOnplutot.cOnDirasph?riques,Aarit?,mplitudespsph?riquescd'uneaondeaplaneasymptotiquesepnpchamp::.quisph?reestetitenonquenoinul:sauftsiars'?crit?planelesl'onde.lointainpv.rCelaordonn?essignie(7.6)quedistributioncettePlusfoncettn?icons'indeoisinagephasetoscilletrtr?survite.(plibroursans.ecUnelesondesont)d?nisaufateureneli?sph?riqueslaordonn?estcoositionEnet(*)33..raD'apr?surlepation.dicult?deestlacesphasepnontsstationnairee(v+oirsonformmalulairep@@),lesonordonnd?duitesqueamplitudesD?monstrque)..planePr?sdecesautouroinestonn?gligeableaputiliseourlesrotationo6avepar(7.5)to?arianlavde(pr?cis?menac.tg?n?rinpestoselonespdoneutopenourettoutt?ressereetv,duausoinsenspdesansformationdistributions).laIlavenousleresteobl?me?Oncalculeralorslaev.e.aleurpdev(enotentiels'?),deamplitudesenettesrendanpind?parit?tdeson?r.estPesourarcelaronautiliseionle(7.7)diregrand?o?279c'estPropx?stationnairetain,Ilon(vyoirdeformuneulairehamp@@).Lalaphaseth?or?medeth?or?me@’ @’
= krx;~ = kry~;
@x~ @y~
2 2@ ’ @ ’
= = kr:
2 2@x~ @x~
(@’ = 0) x~ =y~ = 0 f (x;~ y~)
d
’dxd~ y~
Z ZZ
i’ i’(x;~y~)e fd
= e fdxd~ y~
2S
0 1 0 11=2 1=2p p
i 2 i 2i’(0;0) @ A @ A =e f (0; 0)
2 2@ ’ @ ’
2 2@x~ @y~
( 2)ikr=e f (0; 0)
kr
= 0
ikr( 2) eikz ikre e () = a ()+
kr r
( 2)
a () = () =
k
a ()
ikze

pR
i 2i ’ (x)e u (x)dx = u (0)2d ’(0)2dx
1 1X X1 i l
a () = (2l + 1)P (cos); a () = ( 1) (2l + 1)P (cos):+ l + l
2 2
l=0 l=0
2.leadapt?m?meaucalculoinatestutvenoiesinageINTRduap:oinphaset1.ODUCTIONd?riv?AinsiLAqueponouresttrouvnertTH?ORIEecDEqueLAlDIFFUSIONest.plus(d?tailleorenan@@).sonRemarquedu:OndansnlaphaseplupartlesdeseLes.fait7.oir280(6.86),(6.77)]pr?sourptrouvveordrel'expansion?critexactebledel'argumensph?riques)desadonn?estaionnaire?plusl'aideetdesclair.prolynomescodetLege(revn?esdret2p.pr?sIltestobservpeossibleeteladeestretrouvDanserlivres,(7.4)trouv?stationnairepartirendeSiceunettfonctioneCHAPITREexpansion.nonOnullen'adepasceeuoinbonOnalapremieruleetlaonstationnaire+.esoinformdedecelaphaseici.1Il(@@)noussemlivresVde[BC89,phpysiqueresommer.onF (K;;’)
2 2~ k^H =E E = r 1
2m

ikre 1ikz (~x) = e +f (k;;’) +o|{z} r r
| {z }inc
diff
z inc:
f (k;;’)diff:
~x0~ k :=k (;’) f
r
0~k
0~f k :=f (k;;’)

(2) (2)
a () = ( ); a (;’) = () +f (k;;’):+
k k
()
7.2.d'uneetle,vunique.ecteurfonctiond'onde,dius?equ.dansprobabilit?la281directionsolutionensph?riqueclahampteloinsontainet.leAlorsDE,1est.uneEnfonctionteded'uneform?de(7.8)selontelleLequeRemarques,ond(7.8)l'ondetvestl'adiusionantheel,AMPLITUDEeDIFFUSIONd'?nergiD?nition,2.tionLaaussidenoteuneonnot?el'?qua-dius?e:sortanD'apr?sonde(7.4),etlesth?orieamplitudesnot?ed'l'axeondtransmisee(7.9)stermesph?riquesincidendediusioncorresp:?stationnaire,transmiseonerscvondet.Rapphercsurs'appcouranelledeamplitude:de (~x;t)
2P (~x;t) :=j (~x;t)j

~ ^j (~x;t) :=< (~x;t) ~v (~x;t)
^p~ i~^ ~~v := = r