Informatique Appliquée au Calcul Scientifique
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Français
- Algorithme de Newton
- Introduction aux systèmes dynamiques
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ConservatoireNationaldesArtsetMe´tiers
chaire de Calcul Scientifique
InformatiqueApplique´eauCalculScientifique
CSC012 et CSC013
CoursdeLicencedepremi`ereetsecondeann´ees
Franc¸oisDubois
Professeur responsable
InformatiqueAppliqu´eeauCalculScientifique
Objectif
Donner aux auditeurs des notions de base du maniement des progiciels de calcul
scientifique (Matlab, Scilab, Octave).
Approximationnum´eriquedesprobl`emeslesplusfondamentaux:
r´esolutiond’e´quations,
droitedesmoindrescarr´es,
interpolation,
d´erivationnum´erique,
´equationsdiffe´rentiellesordinaires.
Pe´dagogie
Pe´dagogieactiveofferteauxauditeursavecdes“courstravauxpratiques”.
Expos´esdidactiques,d´emonstrationsdel’enseignantetmisesenpratiquepar
les auditeurs.
IACS1(CSC012)(premie`reanne´e),modulede60heures,6ECTS,
IACS2(CSC013)(secondeanne´e),modulede60heures,6ECTS.
Un ordinateur “calcule toujours faux”
Exemple
x= 0.1,
x= 0.01,
x= 0.00001,
−10
x= 10,
−20
x= 10,
z= 1+x
z= 1+x
z= 1+x
z+= 1x
z= 1+x
z= 1.1
z= 1.01
z= 1.00001
z= 1.0000000001
z= 1!!!
“Quelestleplusgrandnombrequi,ajoute´aun,donneun?”
−14
x= 10, z+= 1x z= 1.00000000000001
−16
x= 10, z= 1+x z= 1.
Lecalculnume´riqueinduittoujoursuneerreurd’arrondi
−15
de l’ordre de10 envaleur relative
InformatiqueAppliqu´eeauCalculScientifique,juin2007.
Algorithme de Newton
Exemple:calculdelaracinecarre´ede2.
Remarquefondamentale:unnouveloutildoittoujoursˆetreteste´
pourunprobl`emedontonconnaˆıtlasolution.
2
On cherchextel quexet= 2x >0 .
2
Changementdel’e´crituredel’e´quation:x=
x
c’esta`diref(x) = 0
2
avecf(x)≡x−,pour toutx >0.
x
InformatiqueApplique´eauCalculScientifique,juin2007.
Algorithme de Newton
On part d’une solution “pas si mauvaise” :x0= 1
On remplace la fonctionfpar son approximation affine
au voisinage dex0:
′
f(x)≈g0(x)≡f(x0) +f(x0) (x−x0)
Ond´efinitx1tulosale´’lednoiequationmmcog0(x1) = 0
′
Sif(x0)6= 0,le calcul dex1pmis:elttesesr`
1
x1=x0−f(x0)
′
f(x0)
InformatiqueAppliqu´eeauCalculScientifique,juin2007.
Algorithme de Newton
Condition initiale :x0= 1
Re´sultatobtenuapre`slapremie`reite´rationdel’algorithme:
x1= 1.33333333333333
On recommence avecx1olutllespproionaocuoevmmneee´hc
On remplace la fonctionfpar l’approximation affine
au voisinage dex1cette fois :
′
f(x)≈g1(x)≡f(x1) +f(x1) (x−x1)
Onde´finitx2natio´equdel’noitulosalemmocg1(x2) = 0
1
′
Sif(x1)6= 0,on ax2=x1−f(x1).
′
f(x1)
InformatiqueApplique´eauCalculScientifique,juin2007.
Algorithme de Newton
InformatiqueApplique´eauCalculScientifique,juin2007.
Algorithme de Newton
InformatiqueApplique´eauCalculScientifique,juin2007.
Algorithme de Newton
InformatiqueApplique´eauCalculScientifique,juin2007.
Algorithme de Newton
On trouve :x0= 1
x1= 1.33333333333333 (1chiffre correct)
It´erationssuivantes:x2= 1.41176470588235 (3chiffres corrects)
x3= 1.chiffres corrects)41421143847487 (6
x4= 1.chiffres corrects)41421356237150 (12
x5= 1.41421356237309
x6= 1.41421356237309
On note que2≈1.41421356237310
Achaqueite´rationdel’algorithme,lenombredechiffresexactsdouble!!
InformatiqueAppliqu´eeauCalculScientifique,juin2007.
