III Monotonie et continuité

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Equipe Académique Maths Bordeaux 1996-1998

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III – Monotonie et continuité MONOTONIE SUR UNE RÉUNION D'INTERVALLES -------------------------- 2 COMPOSÉES ET RÉCIPROQUES ------------------------------------------------ 4 DE COURBES EN COURBE ------------------------------------------------------ 6 LA TORTUE ET LE LAPIN D'ALICE --------------------------------------------- 8 LA MONOTONIE A SES LIMITES----------------------------------------------- 12 FONCTIONS CARRÉMENT ASSOCIÉES---------------------------------------- 15

réel ? commun

outils théorème de bijection

réels ?

?1 au point origine

courbe c1

courbes en courbe

droite ∆

borne inférieure

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III Monotonie et continuité

M ONOTONIE SUR UNE RÉUNION D ’ INTERVALLES -------------------------- 2 C OMPOSÉES ET RÉCIPROQUES ---------------------------------------------- -- 4 D E COURBES EN COURBE ---------------------------------------------------- -- 6 L A TORTUE ET LE LAPIN D ’A LICE ------------------------------------------- -- 8 L A MONOTONIE A SES LIMITES ---------------------------------------------- - 12 F ONCTIONS CARRÉMENT ASSOCIÉES ---------------------------------------- 15

’ M ONOTONIE SUR UNE RÉUNION D INTERVALLES Objectif Étudier les variations d’une fonction sur la réunion de deux intervalles à partir de ses variations sur chacun d’eux. Outils Monotonie Continuité en un point. Passage à la limite d’une inégalité large. Si f est une fonction croissante (respectivedméecrnoti ssante) à la fois sur un inter I valle et un intervall J e non vides,a lors f est-elle une fonction croissante (respectivement : décroissante) sur l'ensem K b le= I ∪ J ? A. Un exemple On rappelle que la fonction « partie entière » E associe à tout réel x le plus grand des entiers relatifs inférieurs ou égaux à x ; c'est à dire : E : R → 6 Z n tel que n ≤ x < n + 1 Soit f et g les fonctions définies sur [ − 2 ; 0 [ par ( x ) = E( x ) et g ( x ) = x × E( x ) . x 1. Prouver que f et g sont monotones sur [ − 2 ; − 1 [ , sur [ − 1 ; 0 [. Représenter f et g sur deux figures distinctes. 2. a. f est-elle croissante sur [ − 2 ; 0 [? ( Calculer f ⎝⎜⎛ 23 ⎟⎠⎞ et f ( − 1)) . b. g est-elle décroissante sur [ − 2 ; 0 [ ? B. Cas où I ∩ J ≠ ∅ On suppose qu'il existe une réel α commun à deux intervalles I et J (donc la réunion de I et J est un intervalle K ). 1. Prouver que, si f est une fonction définie et croissante à la fois sur I et sur J , alors f est croissante sur K . A IDE : Prendre x 1 et x 2 quelconques dans K tels que x 1 < x 2 et comparer f ( x 1 ) et f ( x 2 ) en envisageant chacun des trois cas suivants: y x 1 ≤ α et x 2 ≤ α ; y x 1 ≥ α et x 2 ≥ α ; y x 1 ≤ α ≤ x 2 . 2. Établir un résultat analogue quand f est une fonction définie et décroissante sur I et sur J . 3. Énoncer le théorème démontré. III Monotonie et continuité Monotonie sur une réunion d’intervalles 2

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